У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €1 000 наприкінці кожного року протягом 12 років. Процентна ставка 8 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €1 000i = 8%n = 12
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €30 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 7 років під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?
P = €30 0007,2% / 12N = 84
I = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 10 років і виплачує річні купони. Вона продається за €866, коли дохідність до погашення становить 8%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 10P = €866YTM = 8%
c = %
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% і погашається через 4 років. Дохідність до погашення 5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 4,5%n = 4YTM = 5%
D = роки
5.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1. Ставка податку 20%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 1D/E = 1T = 20%rf = 2,5%rm − rf = 4%
re = %
7.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €20 000, €17 500, €13 000, €24 500, €22 000, €14 500 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 5 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €5 500, €5 500, €3 500, €5 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3971)/0,08 = 7,536
Теперішня вартість
PV = 1 000·7,536 = €7 536,08
Відповідь
PV = €7 536,08
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: I = 8280 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,006, N = 84
A = 30 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−84) = €455,72
Усього відсотків
I = N·A − P = 84·455,7 − 30 000 = €8 280,40
Відповідь
I = €8 280,40
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 6,003 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,08)−10 = €463,19
Купон
C = (866 − 463,19)/6,71 = €60,03
Купонна ставка
c = 60,03/1000 = 6,003%
Відповідь
c = 6,003%
4.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 3,746 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 45/1,05 = 42,86, t·PV = 42,86
t = 2: 45/1,103 = 40,82, t·PV = 81,63
t = 3: 45/1,158 = 38,87, t·PV = 116,62
t = 4: 1045/1,216 = 859,72, t·PV = 3 438,90
Дюрація
P = 982,27
D = 3 680,00/982,27 = 3,746
Відповідь
D = 3,746 роки
5.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,75 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·5%·(1 − 0,3) = 7,75%
Відповідь
WACC = 7,75%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 9,7 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1·(1 + 0,8·1) = 1,8
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 1,8·4% = 9,7%
Відповідь
re = 9,7%
7.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,687 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 20 000/1,05 = 19 047,62 → Σ = 19 047,62
рік 2: 17 500/1,103 = 15 873,02 → Σ = 34 920,63
рік 3: 13 000/1,158 = 11 229,89 → Σ = 46 150,52
рік 4: 24 500/1,216 = 20 156,21 → Σ = 66 306,73
Частка останнього року
DPB = 3 + 13 849,48/20 156,21 = 3,687
Відповідь
DPB = 3,687 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,388 років).
8.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 21,96 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.