Зубчасті колеса й передачі
- Зачеплення коліс
- n1·N1 = n2·N2
- Крутний момент
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Потужність
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Багатоступенева передача
- загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів
Деталі машин: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Кручення валів
- Дотичне напруження
- τ = T·r/J
- Суцільний вал
- J = πd⁴/32
- Порожнистий вал
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Кут закручування
- φ = TL/(GJ)
- Потужність
- P = T·ω = 2πnT/60
Метод
- Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
- Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
- Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
- Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.
Коло Мора й перетворення напружень
- Центр
- C = (σx + σy)/2
- Радіус
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Головні напруження
- σ1,2 = C ± R
- Головний напрямок
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Похила площадка
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Метод
- Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
- Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
- Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Осьове напруження й деформація
- Нормальне напруження
- σ = F/A
- Деформація
- ε = ΔL/L
- Закон Гука
- σ = E·ε
- Видовження
- ΔL = FL/(EA)
- Температурна деформація
- εT = α·ΔT
Стійкість колон
- Критична сила Ейлера
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Коефіцієнт розрахункової довжини
- K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
- Критичне напруження
- σcr = Pcr/A
- Гнучкість
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Механічні коливання
- Власна частота
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Зі статичного прогину
- ωn = √(g/δst)
- Критичне демпфування
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Коефіцієнт демпфування
- ζ = c/cc
- Частота загасаючих коливань
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Логарифмічний декремент
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Пружини паралельно
- k = k1 + k2
- Пружини послідовно
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Задачі для практики
1.Зубчасті колеса й передачіСередня
Пас іде на ведучому шківі 80 мм при 720 об/хв. Натяг становить 500 Н на ведучій гілці та 100 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.
d1 = 80 mmn1 = 720 rpmT1 = 500 NT2 = 100 N
P = kW
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (25 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (48 зуб.). Колесо C (50 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (80 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання nout.
nin = 1440 rpmA = 25B = 48C = 50D = 80
nout = rpm
3.Кручення валівСередня
Порожнистий вал має передавати обертовий момент 500 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.
T = 500 N·mdi/do = 0,8τallow = 50 MPa
do = mm
4.Кручення валівСкладна
Суцільний вал має передавати 15 kW при 1000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −50 MPa, σz = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τabs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).
σx = −60 MPaσy = −70 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
Суцільний вал діаметром 50 mm сприймає згинальний момент 1500 N·m разом з обертовим моментом 400 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τmax.
d = 50 mmM = 1500 N·mT = 400 N·m
τmax = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 50 мм, довжина 300 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.
ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.
P = 90 kNділянка 1: Ø30 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Стійкість колонСередня
Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.
L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.
L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm
σcr = MPa
11.Механічні коливанняСередня
Маса 100 kg на пружині жорсткістю 10 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.
m = 100 kgk = 10 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Механічні коливанняСкладна
Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 12 kN/m, нижня — k₂ = 25 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.
m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m
3Розчини
1.Зубчасті колеса й передачі
Відповідь: P = 1,206 kW
Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.
Швидкість паса
v = 3,016 m/s
Потужність
P = (500 − 100)·3,016 = 1206 W = 1,206 kW
Відповідь
P = 1,206 kW
2.Зубчасті колеса й передачі
Відповідь: nout = 468,8 rpm
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Перший ступінь
nB = 1440·25/48 = 750 rpm = nC
Другий ступінь
nout = 750·50/80 = 468,8 rpm
Відповідь
nout = 468,8 rpm
загальне передаточне відношення = 3,072 : 1
3.Кручення валів
Відповідь: do = 44,18 mm
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Зовнішній діаметр за допустимим напруженням
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0,5904)) = 44,18 mm
di = 0,8·44,18 = 35,35 mm
Відповідь
do = 44,18 mm
Суцільному валу потрібен був би d = 37,07 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.
4.Кручення валів
Відповідь: d = 20,89 mm
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Крутний момент
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Діаметр за допустимим напруженням
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·80)) = 20,89 mm
Відповідь
d = 20,89 mm
На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.
5.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: τabs = 57,62 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σmax − σmin)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.
Головні напруження в площині
C = −65 MPa, R = √(5² + (−50)²) = 50,25 MPa
σ1 = −14,75 MPa, σ2 = −115,2 MPa, σz = 0
Найбільше з трьох кіл
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100,5, 14,75, 115,2)/2 = 57,62 MPa
Відповідь
τabs = 57,62 MPa
Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.
6.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: τmax = 63,25 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Напруження на поверхні
σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122,2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa
Коло Мора
C = σ/2 = 61,12 MPa
R = √(61,12² + 16,3²) = 63,25 MPa
Відповідь
τmax = 63,25 MPa
7.Осьове напруження й деформація
Відповідь: P = 54,64 kN
Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.
Площі
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²
Податливості
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1963) = 1,273 × 10⁻⁶ mm/N
Навантаження
P = 0,2/3,661 × 10⁻⁶ = 54636 N = 54,64 kN
Відповідь
P = 54,64 kN
8.Осьове напруження й деформація
Відповідь: σmax = 795,8 MPa
Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.
Однакова сила в обох ділянках
Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 127,3 MPa
σ2 = 795,8 MPa
Найбільше напруження
Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.
σmax = 795,8 MPa
Відповідь
σmax = 795,8 MPa
9.Стійкість колон
Відповідь: Pcr = 58,01 kN
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
Розрахункова довжина
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
Критична сила
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1750² = 58009 N = 58,01 kN
Відповідь
Pcr = 58,01 kN
10.Стійкість колон
Відповідь: σcr = 4,318 MPa
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Радіус інерції і гнучкість
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400
Критичне напруження
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa
Відповідь
σcr = 4,318 MPa
11.Механічні коливання
Відповідь: fd = 1,378 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Власна частота без демпфування
ωn = √(10000/100) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1,592 Hz
Частота загасаючих коливань
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,5²) = 1,378 Hz
Відповідь
fd = 1,378 Hz
12.Механічні коливання
Відповідь: keq = 8,108 kN/m
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Еквівалентна жорсткість
Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/12 + 1/25 → keq = 12·25/(12 + 25) = 8,108 kN/m
Відповідь
keq = 8,108 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design