Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 100 мм при 1450 об/хв приводить шків 500 мм пасом із прослизанням 1,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 500 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 160 мм при 2880 об/хв зі шківом 200 мм; центри розташовані на відстані 500 мм. Коефіцієнт тертя 0,25, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 600 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 200 mmC = 500 mmμ = 0,25T₁ = 600 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 75 kW при 500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 600 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 100 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 100 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 95 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 70 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 70 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg спирається на пружину жорсткістю 12 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 370 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 8 kgk = 12 kN/mc = 370 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 12 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 285,6 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1450·100/500 = 290 rpm

З прослизанням

n₂ = 290·0,985 = 285,6 rpm

Відповідь

n₂ = 285,6 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 7,743 kW

Кут обхвату

θ = 3,062 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,7654 = 2,15, T₂ = 600/2,15 = 279,1 N

Потужність

P = (600 − 279,1)·24,13 = 7,743 kW

Відповідь

P = 7,743 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,796 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Відповідь

φ = 1,796°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 20,84 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·40/2,749 × 10⁶ = 20,84 MPa

Відповідь

τ_max = 20,84 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −22,5 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 50 − −50) = −45°

Кут на елементі

θ_p = −22,5°

Відповідь

θ_p = −22,5°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −57,72 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −25·0,766 + −60·0,6428 = −57,72 MPa

Відповідь

τ_θ = −57,72 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1886 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·2199 = 3,181 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 100000·600/3,181 × 10⁸ = 0,1886 mm

Відповідь

δ = 0,1886 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 472,5 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 472,5 MPa

Відповідь

σ_max = 472,5 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 347,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Відповідь

P_cr = 347,3 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 78,07 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 78,07 mm

Відповідь

d = 78,07 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 153,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,5971

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·8) = 619,7 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 370/619,7 = 0,5971

Відповідь

ζ = 0,5971

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,183 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/12 → k_eq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m

Власна частота

ω_n = √(10000/25) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Відповідь

f_n = 3,183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design