Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 180 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 5 mm і передаточним відношенням 3,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 180 mmm = 5 mmi = 3,5

N₁ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 100 мм при 960 об/хв зі шківом 400 мм; центри розташовані на відстані 800 мм. Коефіцієнт тертя 0,35, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 800 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 100 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 400 mmC = 800 mmμ = 0,35T₁ = 800 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 50 mm і довжину 2 m; ділянка BC має діаметр 30 mm і довжину 2,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 200 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 200 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 50 kW при 1800 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −70 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 30° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −70 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 40 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 65 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 55 kNділянка 1: Ø40 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 12 mm через 5 циклів іде пік 1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 1 mmn = 5

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 25 kN/m і k₂ = 40 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 16

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/5 = 72

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 72/(1 + 3,5) = 16

Відповідь

N₁ = 16

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 2,493 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,764 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,9675 = 2,631, T₂ = 800/2,631 = 304 N

Потужність

P = (800 − 304)·5,027 = 2,493 kW

Відповідь

P = 2,493 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 15,29 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·2000/(26000·613592) = 0,02507 rad

φ_BC = 200000·2500/(26000·79522) = 0,2418 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,02507 + 0,2418 = 0,2669 rad = 15,29°

Відповідь

φ_C = 15,29°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 3,428 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·37,5/2,902 × 10⁶ = 3,428 MPa

Відповідь

τ_max = 3,428 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −18,04 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −70 − 0·0,5 − (−60)·0,866 = −18,04 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −122 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −140 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −18,04 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 19,69 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 75 + −35·0,866 + −50·0,5 = 19,69 MPa

Відповідь

σ_θ = 19,69 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,395 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 65·1000/490,9 = 132,4 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 132,4/117000 = 0,001132 = 1132 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001132·3000 mm = 3,395 mm

Відповідь

δ = 3,395 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,333 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 273,5 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43,77·1500/100000 = 0,6565 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 273,5·2000/117000 = 4,676 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,333 mm

Відповідь

δ = 5,333 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 4,922 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1050² = 4922 N = 4,922 kN

Відповідь

P_cr = 4,922 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 27,76 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Відповідь

σ_cr = 27,76 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,07885

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(12/1) = 0,497

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,497/√(39,48 + 0,247) = 0,07885

Відповідь

ζ = 0,07885

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 18,15 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 40 = 65 kN/m

Власна частота

ω_n = √(65000/5) = 114 rad/s

f_n = 114/(2π) = 18,15 Hz

Відповідь

f_n = 18,15 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design