Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 150 мм при 960 об/хв приводить шків 450 мм пасом із прослизанням 4 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 960 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 16 зубців, а кожен сателіт — 30 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1200 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 16N_p = 30n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 10 kW при 1450 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 150 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 15 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 20 mm через 4 циклів іде пік 5,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 20 mmx₄ = 5,7 mmn = 4

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 100 kN/m і k₂ = 5 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 307,2 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

960·150/450 = 320 rpm

З прослизанням

n₂ = 320·0,96 = 307,2 rpm

Відповідь

n₂ = 307,2 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 252,6 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·30 = 76

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·16/76 = −252,6 rpm

|n_r| = 252,6 rpm

Відповідь

n_r = 252,6 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 4,384 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Відповідь

φ = 4,384°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 17,75 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·65857/(π·60)) = 17,75 mm

Відповідь

d = 17,75 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 62,65 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((150 − 40)/2)² + 30²) = 62,65 MPa

Відповідь

τ_max = 62,65 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 90 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 40 + 10·0 + −50·−1 = 90 MPa

Відповідь

σ_θ = 90 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,31 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/70000 = 0,0004365 = 436,5 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0004365·3000 mm = 1,31 mm

Відповідь

δ = 1,31 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 365,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5890 = 7,304 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (латунь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0005·7,304 × 10⁸ = 365210 N = 365,2 kN

Відповідь

P_max = 365,2 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 12,36 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1750² = 12359 N = 12,36 kN

Відповідь

P_cr = 12,36 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 73,32 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 73,32 mm

Відповідь

d = 73,32 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 190,9, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04988

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(20/5,7) = 0,3138

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3138/√(39,48 + 0,09848) = 0,04988

Відповідь

ζ = 0,04988

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,459 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 100 + 5 = 105 kN/m

k_eq = 105·5/(105 + 5) = 4,773 kN/m

Власна частота

ω_n = √(4773/20) = 15,45 rad/s

f_n = 15,45/(2π) = 2,459 Hz

Відповідь

f_n = 2,459 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design