Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 80 мм при 1440 об/хв. Натяг становить 1500 Н на ведучій гілці та 300 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 80 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 125 мм при 1450 об/хв зі шківом 400 мм; центри розташовані на відстані 1200 мм. Коефіцієнт тертя 0,35, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1200 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 1200 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 60 mm і довжину 0,8 m; ділянка BC має діаметр 40 mm і довжину 1,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 100 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 100 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 40 mm, L₂ = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 10 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 60 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 60 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 10 kg на пружині жорсткістю 1 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,3. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 10 kgk = 1 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 40 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 80 kN/m і k₂ = 25 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 7,238 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 6,032 m/s

Потужність

P = (1500 − 300)·6,032 = 7238 W = 7,238 kW

Відповідь

P = 7,238 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 7,278 kW

Кут обхвату

θ = 2,912 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^1,019 = 2,771, T₂ = 1200/2,771 = 433,1 N

Потужність

P = (1200 − 433,1)·9,49 = 7,278 kW

Відповідь

P = 7,278 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 1,454 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·800/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,002418 rad

φ_BC = 100000·1500/(26000·251327) = 0,02296 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,002418 + 0,02296 = 0,02537 rad = 1,454°

Відповідь

φ_C = 1,454°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 25,31 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Відповідь

d = 25,31 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 72,8 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((160 − 20)/2)² + −20²) = 72,8 MPa

Відповідь

τ_max = 72,8 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 27,43 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −5·0,6428 + 40·0,766 = 27,43 MPa

Відповідь

τ_θ = 27,43 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,8488 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/100000 = 0,0008488 = 848,8 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0008488·1000 mm = 0,8488 mm

Відповідь

δ = 0,8488 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,479 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 84,88·500/200000 = 0,2122 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 530,5·500/117000 = 2,267 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,479 mm

Відповідь

δ = 2,479 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 4,998 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·6000 = 12000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/12000² = 4998 N = 4,998 kN

Відповідь

P_cr = 4,998 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 47,98 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Відповідь

σ_cr = 47,98 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,518 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(1000/10) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,3²) = 1,518 Hz

Відповідь

f_d = 1,518 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 12,11 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 80 + 25 = 105 kN/m

k_eq = 105·40/(105 + 40) = 28,97 kN/m

Власна частота

ω_n = √(28966/5) = 76,11 rad/s

f_n = 76,11/(2π) = 12,11 Hz

Відповідь

f_n = 12,11 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design