Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 80 мм при 960 об/хв приводить шків 250 мм пасом із прослизанням 4 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 960 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 250 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою 1450 rpm приводить колесо A (24 зубців), зчеплене з колесом B (60 зубців). Колесо C (15 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (40 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 96 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 7,5 kWn_in = 1450 rpmA = 24B = 60C = 15D = 40η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 50 kW при 1500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 60 мм, довжина 300 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 20 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 30 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 30 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg на пружині жорсткістю 12 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 25 kgk = 12 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 60 kN/m і k₂ = 12 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 294,9 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

960·80/250 = 307,2 rpm

З прослизанням

n₂ = 307,2·0,96 = 294,9 rpm

Відповідь

n₂ = 294,9 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 303,5 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 1450·(24/60)·(15/40) = 217,5 rpm

ω_out = 2π·217,5/60 = 22,78 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 7500·0,96² = 6912 W

T_out = P_out/ω_out = 6912/22,78 = 303,5 N·m

Відповідь

T_out = 303,5 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 14,96 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·15708) = 0,2612 rad

φ = 0,2612·180/π = 14,96°

Відповідь

φ = 14,96°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 3,377 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·40/3,77 × 10⁶ = 3,377 MPa

Відповідь

τ_max = 3,377 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 40,31 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((130 − 120)/2)² + 40²) = 40,31 MPa

Відповідь

τ_max = 40,31 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −2,818 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 35 + −35·0,6428 + −20·0,766 = −2,818 MPa

Відповідь

σ_θ = −2,818 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 407,4 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490,9 = 81,49 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 81,49/200000 = 0,0004074 = 407,4 µε

Відповідь

ε = 407,4 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 5,659 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 20000·1,131 × 10⁶/1,414 × 10⁶ = 16000 N

Напруження

σ₂ = 16000/2827 = 5,659 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 5,659 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 31,64 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2800² = 31639 N = 31,64 kN

Відповідь

P_cr = 31,64 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 51,37 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 51,37 mm

Відповідь

d = 51,37 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 233,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 2,49 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(12000/25) = 21,91 rad/s

f_n = 21,91/(2π) = 3,487 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,487·√(1 − 0,7²) = 2,49 Hz

Відповідь

f_d = 2,49 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 6,04 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 12 = 72 kN/m

Власна частота

ω_n = √(72000/50) = 37,95 rad/s

f_n = 37,95/(2π) = 6,04 Hz

Відповідь

f_n = 6,04 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design