Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 100 мм при 720 об/хв приводить шків 200 мм пасом із прослизанням 1,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 720 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 200 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 16 зубців, а кожен сателіт — 30 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1200 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 16N_p = 30n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 400 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 20 kW при 1000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 20 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 100 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 10 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 85 kNділянка 1: Ø35 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 10 mm через 5 циклів іде пік 3,9 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 10 mmx₅ = 3,9 mmn = 5

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на пружині k₃ = 15 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 30 kN/m і k₂ = 60 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 354,6 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

720·100/200 = 360 rpm

З прослизанням

n₂ = 360·0,985 = 354,6 rpm

Відповідь

n₂ = 354,6 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 252,6 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·30 = 76

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·16/76 = −252,6 rpm

|n_r| = 252,6 rpm

Відповідь

n_r = 252,6 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 36,04 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,8704)) = 36,04 mm

d_i = 0,6·36,04 = 21,62 mm

Відповідь

d_o = 36,04 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 34,41 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 32,06 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0,5904)) = 32,06 mm

d_i = 0,8·32,06 = 25,65 mm

Відповідь

d_o = 32,06 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 26,89 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 55,28 °

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 70 − 100) = 110,6°

Кут на елементі

θ_p = 55,28°

Відповідь

θ_p = 55,28°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 101,5 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 80 MPa, R = 36,06 MPa

σ₁ = 116,1 MPa, σ₂ = 43,94 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(116,1² − 116,1·43,94 + 43,94²) = 101,5 MPa

Відповідь

σ_vM = 101,5 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,326 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/200000 = 0,0004421 = 442,1 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0004421·3000 mm = 1,326 mm

Відповідь

δ = 1,326 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 11,72 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 88,35·500/100000 = 0,4417 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·1500/100000 = 11,27 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,72 mm

Відповідь

δ = 11,72 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 86,82 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1000² = 86818 N = 86,82 kN

Відповідь

P_cr = 86,82 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 77,11 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Відповідь

σ_cr = 77,11 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,02996

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(10/3,9) = 0,1883

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1883/√(39,48 + 0,03547) = 0,02996

Відповідь

ζ = 0,02996

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,552 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 30 + 60 = 90 kN/m

k_eq = 90·15/(90 + 15) = 12,86 kN/m

Власна частота

ω_n = √(12857/50) = 16,04 rad/s

f_n = 16,04/(2π) = 2,552 Hz

Відповідь

f_n = 2,552 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design