Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 125 мм при 960 об/хв. Натяг становить 600 Н на ведучій гілці та 300 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою 1440 rpm приводить колесо A (30 зубців), зчеплене з колесом B (60 зубців). Колесо C (24 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (45 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 95 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 7,5 kWn_in = 1440 rpmA = 30B = 60C = 24D = 45η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 1,2 m від A, діє обертовий момент 250 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2,5 m далі, діє момент 750 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 750 N·mAB = 1,2 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 40 MPa і σᵧ = 20 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 75 MPa?

σ_x = 40 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 50 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 105 kNділянка 1: Ø25 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 80 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 80 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через 4 циклів іде пік 23,5 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 23,5 mmn = 4

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 20 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 1,885 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 6,283 m/s

Потужність

P = (600 − 300)·6,283 = 1885 W = 1,885 kW

Відповідь

P = 1,885 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 168,3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 1440·(30/60)·(24/45) = 384 rpm

ω_out = 2π·384/60 = 40,21 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 7500·0,95² = 6769 W

T_out = P_out/ω_out = 6769/40,21 = 168,3 N·m

Відповідь

T_out = 168,3 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,4489 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·613592) = 0,007835 rad

φ = 0,007835·180/π = 0,4489°

Відповідь

φ = 0,4489°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 59,68 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 250 = 500 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Відповідь

τ_max = 59,68 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 43,87 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (40 + 20)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 75 − 30 = 45 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 10²) = 43,87 MPa

Відповідь

τ_xy = 43,87 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 57,66 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−65·0,9397 + −10·0,342 = 57,66 MPa

Відповідь

τ_θ = 57,66 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 68,57 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9,26 × 10⁻⁷ mm/N

Навантаження

P = 0,5/7,292 × 10⁻⁶ = 68567 N = 68,57 kN

Відповідь

P = 68,57 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,869 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 213,9·1000/100000 = 2,139 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522,2·500/70000 = 3,73 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,869 mm

Відповідь

δ = 5,869 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,646 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·6000 = 12000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/12000² = 9646 N = 9,646 kN

Відповідь

P_cr = 9,646 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 50,7 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 50,7 mm

Відповідь

d = 50,7 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 157,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,03003

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(50/23,5) = 0,1888

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1888/√(39,48 + 0,03563) = 0,03003

Відповідь

ζ = 0,03003

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 15 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/20 → k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Відповідь

k_eq = 15 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design