Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з 16 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 2,5 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 100 мм при 2880 об/хв зі шківом 315 мм; центри розташовані на відстані 1000 мм. Коефіцієнт тертя 0,3, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1500 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 100 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 75 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 20° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 110 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1200 mm і товщиною стінки 12 mm містить газ під надлишковим тиском 3 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 20° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 3 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 25 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 500 kg на пружині жорсткістю 200 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 500 kgk = 200 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 40 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 10 kN/m і k₂ = 80 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 994,7 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·16 = 40 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·19,89/0,04 = 994,7 N

Відповідь

F_t = 994,7 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 13,22 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,926 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,8779 = 2,406, T₂ = 1500/2,406 = 623,5 N

Потужність

P = (1500 − 623,5)·15,08 = 13,22 kW

Відповідь

P = 13,22 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 22,17 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(26000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Відповідь

φ = 22,17°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 31,89 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Відповідь

d = 31,89 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 122,9 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 110 − 0·0,766 − (−20)·0,6428 = 122,9 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 97,14 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 220 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 122,9 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 141,2 MPa

Напруження в стінці

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 3·600/12 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 75·sin²20° + 150·cos²20° = 141,2 MPa

Відповідь

σ_n = 141,2 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1019 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 101,9/100000 = 0,001019 = 1019 µε

Відповідь

ε = 1019 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 46,95 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 110000·706,9/300 = 259181 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 60000·259181/468621 = 33184 N

Напруження

σ₂ = 33184/706,9 = 46,95 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 46,95 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 324 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN

Відповідь

P_cr = 324 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 27,76 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Відповідь

σ_cr = 27,76 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 2,982 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(200000/500) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,35²) = 2,982 Hz

Відповідь

f_d = 2,982 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,922 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 10 + 80 = 90 kN/m

k_eq = 90·40/(90 + 40) = 27,69 kN/m

Власна частота

ω_n = √(27692/20) = 37,21 rad/s

f_n = 37,21/(2π) = 5,922 Hz

Відповідь

f_n = 5,922 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design