Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 0,75 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 24, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 0,75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 80η = 100%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 100 мм і шків 200 мм, центри яких розташовані на відстані 800 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 100 mmd₂ = 200 mmC = 800 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 40 N·m. Два кінці розрахункової довжини 250 mm повертаються один відносно одного на 4,43° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 40 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 4,43°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 1,5 m від A, діє обертовий момент 2000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 3 m далі, діє момент 500 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 50 mmT_B = 2000 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,5 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 70 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 45° за годинниковою стрілкою. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 0 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg спирається на пружину жорсткістю 5 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 220 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 15 kgk = 5 kN/mc = 220 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 50 kN/m, нижня — k₂ = 25 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 24,87 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100,5 = 7,46 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 7,46·80/24·1 = 24,87 N·m

Відповідь

T₂ = 24,87 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 172,8 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,0625) = 3,583°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·3,583 = 172,8°

Відповідь

θ = 172,8°

3.Кручення валів

Відповідь: G = 26,02 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 4,43·π/180 = 0,07732 rad

Модуль зсуву

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(4970·0,07732) = 26023 MPa

G = 26,02 GPa

Відповідь

G = 26,02 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 6,128 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 2000 = 2500 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 2,5 × 10⁶·1500/(80000·613592) = 0,07639 rad

φ_BC = 500000·3000/(80000·613592) = 0,03056 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,07639 + 0,03056 = 0,107 rad → |φ_C| = 6,128°

Відповідь

φ_C = 6,128°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 15 MPa

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 25 − 45·0 − (−10)·(−1) = 15 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 35 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 15 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 91,65 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 15 MPa, R = 52,2 MPa

σ₁ = 67,2 MPa, σ₂ = −37,2 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(67,2² − 67,2·(−37,2) + (−37,2)²) = 91,65 MPa

Відповідь

σ_vM = 91,65 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 27,19 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/9,196 × 10⁻⁶ = 27187 N = 27,19 kN

Відповідь

P = 27,19 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 494,8 kN

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0005833) = 0,0005833 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0005833·8,482 × 10⁸ = 494801 N = 494,8 kN

Відповідь

P_max = 494,8 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 33,91 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

Відповідь

P_cr = 33,91 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 38,86 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Відповідь

σ_cr = 38,86 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,4017

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·15) = 547,7 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 220/547,7 = 0,4017

Відповідь

ζ = 0,4017

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 16,67 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/25 → k_eq = 50·25/(50 + 25) = 16,67 kN/m

Відповідь

k_eq = 16,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design