Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 16, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 24. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 2,2 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 24η = 97%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (25 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 25C = 12D = 72

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 2000 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,75 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 50 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 40 kg спирається на пружину жорсткістю 50 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 1410 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 40 kgk = 50 kN/mc = 1410 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 30 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 5 kN/m і k₂ = 25 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 7,244 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Відповідь

T₁ = 7,244 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 300 rpm

Перший ступінь

n_B = 3000·15/25 = 1800 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1800·12/72 = 300 rpm

Відповідь

n_out = 300 rpm

загальне передаточне відношення = 10 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 71,95 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·40·0,6836)) = 71,95 mm

d_i = 0,75·71,95 = 53,96 mm

Відповідь

d_o = 71,95 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 63,38 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 78,57 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 78,57 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(37,81, 78,57) = 78,57 mm

Відповідь

d = 78,57 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 25 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((110 − 80)/2)² + 20²) = 25 MPa

Відповідь

τ_max = 25 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 125,3 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 105 + 35·0,866 + −20·0,5 = 125,3 MPa

Відповідь

σ_θ = 125,3 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,04175 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5890 = 9,582 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 50000·800/9,582 × 10⁸ = 0,04175 mm

Відповідь

δ = 0,04175 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 12,19 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 60000·678584/1,181 × 10⁶ = 34468 N

Напруження

σ₂ = 34468/2827 = 12,19 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 12,19 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 6,169 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/6000² = 6169 N = 6,169 kN

Відповідь

P_cr = 6,169 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 5,483 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5,483 MPa

Відповідь

σ_cr = 5,483 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,4985

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·40) = 2828 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 1410/2828 = 0,4985

Відповідь

ζ = 0,4985

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 8,717 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 5 + 25 = 30 kN/m

k_eq = 30·30/(30 + 30) = 15 kN/m

Власна частота

ω_n = √(15000/5) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Відповідь

f_n = 8,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design