Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з 30 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 2,2 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2,5 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (24 зуб.). Колесо C (15 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (32 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 960 rpmA = 15B = 24C = 15D = 32

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 100 kW при 1450 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 80 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 30° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1200 mm і товщиною стінки 8 mm містить газ під надлишковим тиском 0,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 60° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 0,5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 120 kNділянка 1: Ø35 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 135 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 135 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 12 kg на пружині жорсткістю 10 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,3. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 12 kgk = 10 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 20 kN/m, нижня — k₂ = 100 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 389 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·30 = 75 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·14,59/0,075 = 389 N

Відповідь

F_t = 389 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 281,3 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 960·15/24 = 600 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 600·15/32 = 281,3 rpm

Відповідь

n_out = 281,3 rpm

загальне передаточне відношення = 3,413 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,873 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(39000·613592) = 0,05015 rad

φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Відповідь

φ = 2,873°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 38,24 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·658572/(π·60)) = 38,24 mm

Відповідь

d = 38,24 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −5,359 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 0 − 80·0,5 − (−40)·0,866 = −5,359 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 5,359 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 0 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −5,359 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 23,44 MPa

Напруження в стінці

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,5·600/8 = 37,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 18,75 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 18,75·sin²60° + 37,5·cos²60° = 23,44 MPa

Відповідь

σ_n = 23,44 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,04969 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5027 = 6,44 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·400/6,44 × 10⁸ = 0,04969 mm

Відповідь

δ = 0,04969 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,116 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 124,7 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 124,7·2000/117000 = 2,132 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596,8·500/100000 = 2,984 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,116 mm

Відповідь

δ = 5,116 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,888 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Відповідь

P_cr = 5,888 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 120,5 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 120,5 mm

Відповідь

d = 120,5 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 139,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 4,383 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(10000/12) = 28,87 rad/s

f_n = 28,87/(2π) = 4,594 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,594·√(1 − 0,3²) = 4,383 Hz

Відповідь

f_d = 4,383 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 16,67 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/100 → k_eq = 20·100/(20 + 100) = 16,67 kN/m

Відповідь

k_eq = 16,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design