Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 56,25 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 1,5 mm і передаточним відношенням 4 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 56,25 mmm = 1,5 mmi = 4

N₂ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 160 мм при 1450 об/хв зі шківом 315 мм; центри розташовані на відстані 600 мм. Коефіцієнт тертя 0,25, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1000 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 315 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 1000 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 75 mm і довжину 0,8 m; ділянка BC має діаметр 40 mm і довжину 1 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 100 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 40 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,5 m від A, діє обертовий момент 400 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2 m далі, діє момент 750 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 750 N·mAB = 0,5 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 60 MPa і σᵧ = −50 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 115 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1000 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 1,2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 35° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 35°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 50 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 50 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 90 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 90 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 12 kg на пружині жорсткістю 40 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,45. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 12 kgk = 40 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 80 kN/m, нижня — k₂ = 15 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 60

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·56,25/1,5 = 75

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 75/(1 + 4) = 15

N₂ = 4·15 = 60

Відповідь

N₂ = 60

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 6,238 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,883 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,7206 = 2,056, T₂ = 1000/2,056 = 486,4 N

Потужність

P = (1000 − 486,4)·12,15 = 6,238 kW

Відповідь

P = 6,238 kW

3.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 7,958 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Напруження на кожній ділянці

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·75³) = 1,207 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·40³) = 7,958 MPa

Відповідь

τ_max = 7,958 MPa

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 30,56 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 400 = 350 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Відповідь

τ_max = 30,56 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 95,26 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (60 + (−50))/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 5 = 110 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 55²) = 95,26 MPa

Відповідь

τ_xy = 95,26 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 100,3 MPa

Напруження в стінці

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1,2·500/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 60·sin²35° + 120·cos²35° = 100,3 MPa

Відповідь

σ_n = 100,3 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,02881 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5027 = 6,943 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 50000·400/6,943 × 10⁸ = 0,02881 mm

Відповідь

δ = 0,02881 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 15,96 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 50000·274889/438514 = 31343 N

Напруження

σ₂ = 31343/1963 = 15,96 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 15,96 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 29,61 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29,61 kN

Відповідь

P_cr = 29,61 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 87,29 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 87,29 mm

Відповідь

d = 87,29 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 229,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 8,206 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(40000/12) = 57,74 rad/s

f_n = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9,189·√(1 − 0,45²) = 8,206 Hz

Відповідь

f_d = 8,206 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,828 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/15 → k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

Власна частота

ω_n = √(12632/40) = 17,77 rad/s

f_n = 17,77/(2π) = 2,828 Hz

Відповідь

f_n = 2,828 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design