Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,1 kW із частотою 2900 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 4. Черв’ячне колесо має 36 зубців, ККД передачі 50 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 4N_w = 36n = 2900 rpmP = 1,1 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 120 мм при 2880 об/хв зі шківом 450 мм; центри розташовані на відстані 1200 мм. Коефіцієнт тертя 0,3, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1000 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 120 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 450 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 1000 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 20 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa, а кут закручування — 1° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 90 kNділянка 1: Ø30 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg на пружині жорсткістю 150 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 8 kgk = 150 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 30 kN/m і k₂ = 5 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 16,3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 2900·4/36 = 322,2 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·322,2/60 = 33,74 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·1100/33,74 = 16,3 N·m

Відповідь

T_w = 16,3 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 10,44 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,866 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,8597 = 2,362, T₂ = 1000/2,362 = 423,3 N

Потужність

P = (1000 − 423,3)·18,1 = 10,44 kW

Відповідь

P = 10,44 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,796 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(39000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Відповідь

φ = 1,796°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 44,18 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

d_τ = ∛(16·254648/(π·50)) = 29,6 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·254648/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 44,18 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(29,6, 44,18) = 44,18 mm

Відповідь

d = 44,18 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −69,01 °

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −50/67,27 = −0,7433, sin 2θ_s = −45/67,27 = −0,669

2θ_s = atan2(−45, −50) = −138°

Кут на елементі

θ_s = −69,01°

перевірка: θ_s − θ_p = −69,01 − (−24,01) = −45°

Відповідь

θ_s = −69,01°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 211 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 25 MPa, R = 120,9 MPa

σ₁ = 145,9 MPa, σ₂ = −95,93 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(145,9² − 145,9·(−95,93) + (−95,93)²) = 211 MPa

Відповідь

σ_vM = 211 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 82,47 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/4,85 × 10⁻⁶ = 82467 N = 82,47 kN

Відповідь

P = 82,47 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 795,8 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 795,8 MPa

Відповідь

σ_max = 795,8 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,721 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·6000 = 12000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/12000² = 8721 N = 8,721 kN

Відповідь

P_cr = 8,721 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 31,87 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 31,87 mm

Відповідь

d = 31,87 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 125,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 15,56 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(150000/8) = 136,9 rad/s

f_n = 136,9/(2π) = 21,79 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 21,79·√(1 − 0,7²) = 15,56 Hz

Відповідь

f_d = 15,56 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,211 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 5 = 35 kN/m

Власна частота

ω_n = √(35000/50) = 26,46 rad/s

f_n = 26,46/(2π) = 4,211 Hz

Відповідь

f_n = 4,211 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design