Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з 18 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 1,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 18m = 2,5 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою 960 rpm приводить колесо A (12 зубців), зчеплене з колесом B (48 зубців). Колесо C (24 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (25 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 98 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 1,5 kWn_in = 960 rpmA = 12B = 48C = 24D = 25η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 75 mm і довжину 1,5 m; ділянка BC має діаметр 60 mm і довжину 2 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 200 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 60 mm, L₂ = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 15 kW при 300 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає згинальний момент 750 N·m разом з обертовим моментом 1000 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 10 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 250 kg на пружині жорсткістю 80 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,3. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 250 kgk = 80 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 80 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 219,5 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·18 = 45 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·4,939/0,045 = 219,5 N

Відповідь

F_t = 219,5 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 59,71 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 960·(12/48)·(24/25) = 230,4 rpm

ω_out = 2π·230,4/60 = 24,13 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 1500·0,98² = 1441 W

T_out = P_out/ω_out = 1441/24,13 = 59,71 N·m

Відповідь

T_out = 59,71 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 0,9056 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·1500/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,003715 rad

φ_BC = 200000·2000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,01209 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,003715 + 0,01209 = 0,01581 rad = 0,9056°

Відповідь

φ_C = 0,9056°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 34,35 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·60)) = 34,35 mm

Відповідь

d = 34,35 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 9,217 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, −20 − −80) = 18,43°

Кут на елементі

θ_p = 9,217°

Відповідь

θ_p = 9,217°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 159,2 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 59,68 MPa

R = √(59,68² + 79,58²) = 99,47 MPa

σ₁ = C + R = 159,2 MPa

σ₂ = C − R = −39,79 MPa

Відповідь

σ₁ = 159,2 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,2125 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/117000 = 0,0004251 = 425,1 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0004251·500 mm = 0,2125 mm

Відповідь

δ = 0,2125 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 558,4 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5027 = 7,446 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0008333) = 0,00075 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,00075·7,446 × 10⁸ = 558418 N = 558,4 kN

Відповідь

P_max = 558,4 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 14,62 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3000² = 14622 N = 14,62 kN

Відповідь

P_cr = 14,62 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 69,09 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Відповідь

σ_cr = 69,09 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 2,716 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(80000/250) = 17,89 rad/s

f_n = 17,89/(2π) = 2,847 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,847·√(1 − 0,3²) = 2,716 Hz

Відповідь

f_d = 2,716 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 34,29 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/80 → k_eq = 60·80/(60 + 80) = 34,29 kN/m

Відповідь

k_eq = 34,29 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design