Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 180 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 5 mm і передаточним відношенням 3 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 180 mmm = 5 mmi = 3

N₂ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (18 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (30 зубців). Колесо C (36 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 432 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 960 rpmA = 18B = 30C = 36n_out = 432 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 50 mm, внутрішній діаметр 30 mm, довжина 2,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1500 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 50 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 150 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 150 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 65 kNділянка 1: Ø25 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 150 kg на пружині жорсткістю 25 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,3. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 150 kgk = 25 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 40 kN/m, нижня — k₂ = 80 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 54

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/5 = 72

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 72/(1 + 3) = 18

N₂ = 3·18 = 54

Відповідь

N₂ = 54

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 960·18/30 = 576 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 36·576/432 = 48

Відповідь

N_D = 48

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 15,47 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Кут закручування

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·2500/(26000·534071) = 0,2701 rad

φ = 0,2701·180/π = 15,47°

Відповідь

φ = 15,47°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 78,57 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 78,57 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(37,81, 78,57) = 78,57 mm

Відповідь

d = 78,57 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 72,11 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((60 − −60)/2)² + 40²) = 72,11 MPa

Відповідь

τ_max = 72,11 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 137,4 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 85 + 75·0,1736 + 40·0,9848 = 137,4 MPa

Відповідь

σ_θ = 137,4 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,04727 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·8482 = 1,269 × 10⁹ N

Вкорочення

δ = 150000·400/1,269 × 10⁹ = 0,04727 mm

Відповідь

δ = 0,04727 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 323,3 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 323,3 MPa

Відповідь

σ_max = 323,3 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 99,66 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2100² = 99663 N = 99,66 kN

Відповідь

P_cr = 99,66 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 11,99 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Відповідь

σ_cr = 11,99 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,96 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(25000/150) = 12,91 rad/s

f_n = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,055·√(1 − 0,3²) = 1,96 Hz

Відповідь

f_d = 1,96 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 26,67 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/80 → k_eq = 40·80/(40 + 80) = 26,67 kN/m

Відповідь

k_eq = 26,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design