Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс
n1·N1 = n2·N2
Крутний момент
T2 = T1·(N2/N1)·η
Потужність
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача
загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Зі статичного прогину
ωn = √(g/δst)
Критичне демпфування
cc = 2√(km) = 2mωn
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc
Частота загасаючих коливань
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно
k = k1 + k2
Пружини послідовно
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня
d1​ = 160 mmd2​ = 315 mm720 rpmT1​ = 600 NT2​ = 150 NP = ?

Пас іде на ведучому шківі 160 мм при 720 об/хв. Натяг становить 600 Н на ведучій гілці та 150 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d1 = 160 mmn1 = 720 rpmT1 = 600 NT2 = 150 N
P = kW
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
d1​ = 150 mmd2​ = 315 mm960 rpmC = 500 mmT1​ = 2000 NT2​P = ?

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 150 мм при 960 об/хв зі шківом 315 мм; центри розташовані на відстані 500 мм. Коефіцієнт тертя 0,25, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 2000 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d1 = 150 mmn1 = 960 rpmd2 = 315 mmC = 500 mmμ = 0,25T1 = 2000 N
P = kW
3.Кручення валівСередня
do​ = ?T = 250 N·m

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 250 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.

T = 250 N·mdi/do = 0,6τallow = 75 MPa
do = mm
4.Кручення валівСкладна
d = 30 mmT0​ = 250 N·mACBa = 0,5 mb = 1 m

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,5 m від A і 1 m від B, прикладено обертовий момент 250 N·m. Знайдіть реактивний момент TA у стіні A.

d = 30 mmT0 = 250 N·ma = 0,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −50σy​ = −10τxy​ = 30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −50 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = −50 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
35°D = 400 mm, t = 6 mm, p = 2,5 MPap

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 400 mm і товщиною стінки 6 mm містить газ під надлишковим тиском 2,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 35° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σn, що діє поперек зварного шва.

D = 400 mmt = 6 mmp = 2,5 MPaα = 35°
σn = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 16 mmСталь3 mP = 55 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 55 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
60 kN12600 mm500 mmØ30Ø50σ2​ = ?

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 50 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 3 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Механічні коливанняСередня
k = 10 kN/mc = 510 N·s/mm = 40 kg

Маса 40 kg спирається на пружину жорсткістю 10 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 510 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 40 kgk = 10 kN/mc = 510 N·s/m
ζ =
12.Механічні коливанняСкладна
k1​ = 12k2​ = 5m = 20 kg

Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 12 kN/m, нижня — k₂ = 5 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk1 = 12 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 2,714 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 6,032 m/s

Потужність

P = (600 − 150)·6,032 = 2714 W = 2,714 kW

Відповідь

P = 2,714 kW
2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 7,61 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,81 rad

Натяг веденої гілки

eμθ = e0,7025 = 2,019, T₂ = 2000/2,019 = 990,7 N

Потужність

P = (2000 − 990,7)·7,54 = 7,61 kW

Відповідь

P = 7,61 kW
3.Кручення валів

Відповідь: do = 26,92 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·75·0,8704)) = 26,92 mm
di = 0,6·26,92 = 16,15 mm

Відповідь

do = 26,92 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 25,7 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: TA = 166,7 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1/1,5 = 166,7 N·m
TB = 250·0,5/1,5 = 83,33 N·m

Відповідь

TA = 166,7 N·m
5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = 61,85 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, −50 − −10) = 123,7°

Кут на елементі

θp = 61,85°

Відповідь

θp = 61,85°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σn = 69,63 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σh = pr/t і осьове напруження σa = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 2,5·200/6 = 83,33 MPa
σa = pr/(2t) = 41,67 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σa), а y по колу (σh). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σn = 41,67·sin²35° + 83,33·cos²35° = 69,63 MPa

Відповідь

σn = 69,63 MPa
7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 4,103 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/200000 = 0,001368 = 1368 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001368·3000 mm = 4,103 mm

Відповідь

δ = 4,103 mm
8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ2 = 20,37 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm

Частка ділянки 2

F2 = 60000·471239/706858 = 40000 N

Напруження

σ2 = 40000/1963 = 20,37 MPa (стиск)

Відповідь

σ2 = 20,37 MPa
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 34,88 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Відповідь

Pcr = 34,88 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 44,76 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/10 = 210

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Відповідь

σcr = 44,76 MPa
11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,4032

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·40) = 1265 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/cc = 510/1265 = 0,4032

Відповідь

ζ = 0,4032

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: keq = 3,529 kN/m

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/5 → keq = 12·5/(12 + 5) = 3,529 kN/m

Відповідь

keq = 3,529 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design