Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 80 мм при 1450 об/хв. Натяг становить 800 Н на ведучій гілці та 240 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 800 NT₂ = 240 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою 1440 rpm приводить колесо A (16 зубців), зчеплене з колесом B (40 зубців). Колесо C (72 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (80 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 98 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 5,5 kWn_in = 1440 rpmA = 16B = 40C = 72D = 80η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 40 mm і довжину 2 m; ділянка BC має діаметр 30 mm і довжину 2 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 250 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 20 kW при 750 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 75 kNділянка 1: Ø35 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 50 kg спирається на пружину жорсткістю 40 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 140 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 50 kgk = 40 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 25 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 30 kN/m і k₂ = 25 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 3,401 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 6,074 m/s

Потужність

P = (800 − 240)·6,074 = 3401 W = 3,401 kW

Відповідь

P = 3,401 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 97,3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 1440·(16/40)·(72/80) = 518,4 rpm

ω_out = 2π·518,4/60 = 54,29 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 5500·0,98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/54,29 = 97,3 N·m

Відповідь

T_out = 97,3 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 18,24 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·2000/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ_BC = 250000·2000/(26000·79522) = 0,2418 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,07652 + 0,2418 = 0,3183 rad = 18,24°

Відповідь

φ_C = 18,24°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 5,207 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·37,5/1,834 × 10⁶ = 5,207 MPa

Відповідь

τ_max = 5,207 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 19,9 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 30/39,05 = 0,7682, sin 2θ_s = −(−25)/39,05 = 0,6402

2θ_s = atan2(25, 30) = 39,81°

Кут на елементі

θ_s = 19,9°

перевірка: θ_s − θ_p = 19,9 − 64,9 = −45°

Відповідь

θ_s = 19,9°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −50 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −50·1 + 50·0 = −50 MPa

Відповідь

τ_θ = −50 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,07148 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·3063 = 4,477 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·400/4,477 × 10⁸ = 0,07148 mm

Відповідь

δ = 0,07148 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 238,7 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 238,7 MPa

Відповідь

σ_max = 238,7 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 222,1 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1000² = 222066 N = 222,1 kN

Відповідь

P_cr = 222,1 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 8,567 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Відповідь

σ_cr = 8,567 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,0495

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·50) = 2828 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 140/2828 = 0,0495

Відповідь

ζ = 0,0495

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,666 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 30 + 25 = 55 kN/m

k_eq = 55·25/(55 + 25) = 17,19 kN/m

Власна частота

ω_n = √(17188/20) = 29,32 rad/s

f_n = 29,32/(2π) = 4,666 Hz

Відповідь

f_n = 4,666 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design