Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 120 мм при 1440 об/хв. Натяг становить 1200 Н на ведучій гілці та 600 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (30 зубців). Колесо C (45 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 750 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1500 rpmA = 16B = 30C = 45n_out = 750 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 50 kW при 300 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 50 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 30° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 100 kNділянка 1: Ø25 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 150 kg спирається на пружину жорсткістю 40 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 2450 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 150 kgk = 40 kN/mc = 2450 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на пружині k₃ = 80 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 60 kN/m і k₂ = 60 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 5,429 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 9,048 m/s

Потужність

P = (1200 − 600)·9,048 = 5429 W = 5,429 kW

Відповідь

P = 5,429 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1500·16/30 = 800 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 45·800/750 = 48

Відповідь

N_D = 48

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,386 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·79522) = 0,02418 rad

φ = 0,02418·180/π = 1,386°

Відповідь

φ = 1,386°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 48,67 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 48,67 mm

d_i = 0,5·48,67 = 24,33 mm

Відповідь

d_o = 48,67 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 47,63 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 50,25 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((30 − 40)/2)² + −50²) = 50,25 MPa

Відповідь

τ_max = 50,25 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 17,68 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 10 + 50·0,5 + 20·−0,866 = 17,68 MPa

Відповідь

σ_θ = 17,68 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1488 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/117000 = 0,001488 = 1488 µε

Відповідь

ε = 1488 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 318,3 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 318,3 MPa

Відповідь

σ_max = 318,3 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 141 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1050² = 140994 N = 141 kN

Відповідь

P_cr = 141 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 26,99 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Відповідь

σ_cr = 26,99 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,5001

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·150) = 4899 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 2450/4899 = 0,5001

Відповідь

ζ = 0,5001

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 11,03 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 60 + 60 = 120 kN/m

k_eq = 120·80/(120 + 80) = 48 kN/m

Власна частота

ω_n = √(48000/10) = 69,28 rad/s

f_n = 69,28/(2π) = 11,03 Hz

Відповідь

f_n = 11,03 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design