Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 101,3 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 1,5 mm і передаточним відношенням 3,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 101,3 mmm = 1,5 mmi = 3,5

N₁ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою 1440 rpm приводить колесо A (15 зубців), зчеплене з колесом B (30 зубців). Колесо C (32 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (45 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 98 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 5,5 kWn_in = 1440 rpmA = 15B = 30C = 32D = 45η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 1 m від A, діє обертовий момент 2000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 3 m далі, діє момент 100 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −70 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 40° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає осьову розтягувальну силу 80 kN разом з обертовим моментом 250 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 20 mmF = 80 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 115 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg спирається на пружину жорсткістю 80 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 280 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 25 kgk = 80 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 60 kN/m і k₂ = 20 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·101,3/1,5 = 135

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 135/(1 + 3,5) = 30

Відповідь

N₁ = 30

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 98,52 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 1440·(15/30)·(32/45) = 512 rpm

ω_out = 2π·512/60 = 53,62 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 5500·0,98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/53,62 = 98,52 N·m

Відповідь

T_out = 98,52 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,14 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·251327) = 0,01989 rad

φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Відповідь

φ = 1,14°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 4,559 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 2000 = −1900 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1,9 × 10⁶·1000/(80000·251327) = −0,0945 rad

φ_BC = 100000·3000/(80000·251327) = 0,01492 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = −0,0945 + 0,01492 = −0,07958 rad → |φ_C| = 4,559°

Відповідь

φ_C = 4,559°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −11,52 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 5 − (−75)·0,1736 − 30·0,9848 = −11,52 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 21,52 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −11,52 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 331,1 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 80000/(π·20²/4) = 80000/314,2 = 254,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 127,3 MPa

R = √(127,3² + 159,2²) = 203,8 MPa

σ₁ = C + R = 331,1 MPa

σ₂ = C − R = −76,49 MPa

Відповідь

σ₁ = 331,1 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 20,92 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1464/70000 = 0,02092 = 20918 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,02092·1000 mm = 20,92 mm

Відповідь

δ = 20,92 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 691,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·7461 = 1,037 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,0006667) = 0,0006667 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006667·1,037 × 10⁹ = 691150 N = 691,2 kN

Відповідь

P_max = 691,2 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 12,56 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/10000² = 12558 N = 12,56 kN

Відповідь

P_cr = 12,56 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 226,6 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7,5 = 93,33

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93,33² = 226,6 MPa

Відповідь

σ_cr = 226,6 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,09899

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·25) = 2828 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 280/2828 = 0,09899

Відповідь

ζ = 0,09899

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 80 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 20 = 80 kN/m

Відповідь

k_eq = 80 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design