Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 150 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 2 mm і передаточним відношенням 5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 150 mmm = 2 mmi = 5

N₁ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (25 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 960 rpmA = 16B = 25C = 18D = 50

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 50 mm і довжину 1,2 m; ділянка BC має діаметр 30 mm і довжину 0,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 200 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 200 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 30 kW при 1800 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 20 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 30° за годинниковою стрілкою. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 20 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 100 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 100 kg спирається на пружину жорсткістю 50 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 2680 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 100 kgk = 50 kN/mc = 2680 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на пружині k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 50 kN/m і k₂ = 30 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 25

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·150/2 = 150

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 150/(1 + 5) = 25

Відповідь

N₁ = 25

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 221,2 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 960·16/25 = 614,4 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 614,4·18/50 = 221,2 rpm

Відповідь

n_out = 221,2 rpm

загальне передаточне відношення = 4,34 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 3,633 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·1200/(26000·613592) = 0,01504 rad

φ_BC = 200000·500/(26000·79522) = 0,04837 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,01504 + 0,04837 = 0,06341 rad = 3,633°

Відповідь

φ_C = 3,633°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 4,311 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Полярний момент інерції

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/1,107 × 10⁶ = 4,311 MPa

Відповідь

τ_max = 4,311 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 55,8 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 15 − 5·0,5 − 50·(−0,866) = 55,8 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −25,8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 55,8 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 151,7 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 115 + 25·0,342 + 30·0,9397 = 151,7 MPa

Відповідь

σ_θ = 151,7 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1034 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6,189 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·800/6,189 × 10⁸ = 0,1034 mm

Відповідь

δ = 0,1034 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 25,98 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 100000·141372/769690 = 18367 N

Напруження

σ₂ = 18367/706,9 = 25,98 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 25,98 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 110,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

Відповідь

P_cr = 110,2 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 62,66 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Відповідь

σ_cr = 62,66 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,5993

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·100) = 4472 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 2680/4472 = 0,5993

Відповідь

ζ = 0,5993

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 8,828 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 50 + 30 = 80 kN/m

k_eq = 80·50/(80 + 50) = 30,77 kN/m

Власна частота

ω_n = √(30769/10) = 55,47 rad/s

f_n = 55,47/(2π) = 8,828 Hz

Відповідь

f_n = 8,828 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design