Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 81 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 1,5 mm і передаточним відношенням 3,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 81 mmm = 1,5 mmi = 3,5

N₂ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (36 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (45 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1450 rpmA = 36B = 45C = 24D = 72

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 1500 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1,5 m від A і 1,2 m від B, прикладено обертовий момент 1000 N·m. Знайдіть реактивний момент T_A у стіні A.

d = 50 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,5 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −40 MPa і σᵧ = −60 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне −25 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = −25 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 25 mm сприймає згинальний момент 300 N·m разом з обертовим моментом 250 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 25 mmM = 300 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 30 kNділянка 1: Ø40 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 5 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 5 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 2 kg на пружині жорсткістю 50 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 2 kgk = 50 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 40 kN/m і k₂ = 12 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 84

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·81/1,5 = 108

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 108/(1 + 3,5) = 24

N₂ = 3,5·24 = 84

Відповідь

N₂ = 84

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 386,7 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1450·36/45 = 1160 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1160·24/72 = 386,7 rpm

Відповідь

n_out = 386,7 rpm

загальне передаточне відношення = 3,75 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 54,62 mm

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·50·0,9375)) = 54,62 mm

d_i = 0,5·54,62 = 27,31 mm

Відповідь

d_o = 54,62 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 53,46 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: T_A = 444,4 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1,2/2,7 = 444,4 N·m

T_B = 1000·1,5/2,7 = 555,6 N·m

Відповідь

T_A = 444,4 N·m

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 22,91 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (−40 + (−60))/2 = −50 MPa

R = σ₁ − C = −25 − (−50) = 25 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 10²) = 22,91 MPa

Відповідь

τ_xy = 22,91 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 225,1 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·25³) = 195,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 97,78 MPa

R = √(97,78² + 81,49²) = 127,3 MPa

σ₁ = C + R = 225,1 MPa

σ₂ = C − R = −29,5 MPa

Відповідь

σ₁ = 225,1 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 353,7 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/706,9 = 35,37 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 35,37/100000 = 0,0003537 = 353,7 µε

Відповідь

ε = 353,7 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,6118 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 23,87 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 23,87·1000/100000 = 0,2387 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 149,2·500/200000 = 0,373 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,6118 mm

Відповідь

δ = 0,6118 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 6,867 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/8000² = 6867 N = 6,867 kN

Відповідь

P_cr = 6,867 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 46,61 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 46,61 mm

Відповідь

d = 46,61 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 343,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 17,97 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(50000/2) = 158,1 rad/s

f_n = 158,1/(2π) = 25,16 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 25,16·√(1 − 0,7²) = 17,97 Hz

Відповідь

f_d = 17,97 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 7,259 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 12 = 52 kN/m

Власна частота

ω_n = √(52000/25) = 45,61 rad/s

f_n = 45,61/(2π) = 7,259 Hz

Відповідь

f_n = 7,259 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design