Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 15 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 50, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 50N₂ = 80η = 95%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою 1440 rpm приводить колесо A (20 зубців), зчеплене з колесом B (32 зубців). Колесо C (12 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (18 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 97 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 2,2 kWn_in = 1440 rpmA = 20B = 32C = 12D = 18η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 1,2 m від A, діє обертовий момент 200 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2 m далі, діє момент 500 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 40 mmT_B = 200 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,2 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 355 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = −50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 20 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 65 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 65 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 250 kg на пружині жорсткістю 150 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 250 kgk = 150 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 80 kN/m, нижня — k₂ = 80 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 95,49 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Відповідь

T₁ = 95,49 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 32,94 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 1440·(20/32)·(12/18) = 600 rpm

ω_out = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 2200·0,97² = 2070 W

T_out = P_out/ω_out = 2070/62,83 = 32,94 N·m

Відповідь

T_out = 32,94 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 4,503 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·79522) = 0,0786 rad

φ = 0,0786·180/π = 4,503°

Відповідь

φ = 4,503°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 55,7 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 200 = 700 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 700 N·m

τ_max = 16·700000/(π·40³) = 55,7 MPa

Відповідь

τ_max = 55,7 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 69,18 °

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −10 − 80) = 138,4°

Кут на елементі

θ_p = 69,18°

Відповідь

θ_p = 69,18°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 6,319

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = −45 MPa, R = 11,18 MPa

σ₁ = −33,82 MPa, σ₂ = −56,18 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 56,18 MPa

n = 355/56,18 = 6,319

Відповідь

n = 6,319

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 39,39 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/1,015 × 10⁻⁵ = 39395 N = 39,39 kN

Відповідь

P = 39,39 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 4,654 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 20000·98960/601615 = 3290 N

Напруження

σ₂ = 3290/706,9 = 4,654 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 4,654 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 145 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1750² = 145023 N = 145 kN

Відповідь

P_cr = 145 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 28,47 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 28,47 mm

Відповідь

d = 28,47 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 98,33, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 3,573 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(150000/250) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,898·√(1 − 0,4²) = 3,573 Hz

Відповідь

f_d = 3,573 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 10,07 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/80 → k_eq = 80·80/(80 + 80) = 40 kN/m

Власна частота

ω_n = √(40000/10) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Відповідь

f_n = 10,07 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design