Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 15 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 60. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 15 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 18N₂ = 60η = 96%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (50 зуб.). Колесо C (40 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (48 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 30B = 50C = 40D = 48

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 40 mm і довжину 2 m; ділянка BC має діаметр 30 mm і довжину 0,8 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 400 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 750 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 100 mmd_i = 75 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 20 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 80 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 80 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 12 mm через 3 циклів іде пік 1,8 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 12 mmx₃ = 1,8 mmn = 3

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 5 kN/m і k₂ = 60 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 98,79 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Відповідь

T₁ = 98,79 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 1500 rpm

Перший ступінь

n_B = 3000·30/50 = 1800 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1800·40/48 = 1500 rpm

Відповідь

n_out = 1500 rpm

загальне передаточне відношення = 2 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 15,88 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 400000·2000/(26000·251327) = 0,1224 rad

φ_BC = 400000·800/(26000·79522) = 0,1548 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,1224 + 0,1548 = 0,2772 rad = 15,88°

Відповідь

φ_C = 15,88°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 9,486 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Полярний момент інерції

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6,711 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·50/6,711 × 10⁶ = 9,486 MPa

Відповідь

τ_max = 9,486 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 78,54 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 90 MPa, R = √((−30)² + (−60)²) = 67,08 MPa

σ₁ = 157,1 MPa, σ₂ = 22,92 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134,2, 157,1, 22,92)/2 = 78,54 MPa

Відповідь

τ_abs = 78,54 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 13,32 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−10·0,9848 + −20·−0,1736 = 13,32 MPa

Відповідь

τ_θ = 13,32 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 82,92 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/4,824 × 10⁻⁶ = 82916 N = 82,92 kN

Відповідь

P = 82,92 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,315 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40,74·1500/70000 = 0,8731 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 176,8·500/200000 = 0,4421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,315 mm

Відповідь

δ = 1,315 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,426 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Відповідь

P_cr = 5,426 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 53,6 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 53,6 mm

Відповідь

d = 53,6 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 149,2, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1001

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(12/1,8) = 0,6324

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6324/√(39,48 + 0,3999) = 0,1001

Відповідь

ζ = 0,1001

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 65 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 60 = 65 kN/m

Відповідь

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design