Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 25, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 25N₂ = 80η = 97%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (24 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (80 зуб.). Колесо C (50 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (60 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 24B = 80C = 50D = 60

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 100 kW при 1000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає осьову розтягувальну силу 110 kN разом з обертовим моментом 400 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 30 mmF = 110 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 50 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 20 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 250 kg на пружині жорсткістю 200 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 250 kgk = 200 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 50 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 19,76 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Відповідь

T₁ = 19,76 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 725 rpm

Перший ступінь

n_B = 2900·24/80 = 870 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 870·50/60 = 725 rpm

Відповідь

n_out = 725 rpm

загальне передаточне відношення = 4 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,754 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(39000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Відповідь

φ = 1,754°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 49,54 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Відповідь

d = 49,54 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 25,67 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 20/32,02 = 0,6247, sin 2θ_s = −(−25)/32,02 = 0,7809

2θ_s = atan2(25, 20) = 51,34°

Кут на елементі

θ_s = 25,67°

перевірка: θ_s − θ_p = 25,67 − 70,67 = −45°

Відповідь

θ_s = 25,67°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 186,2 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 110000/(π·30²/4) = 110000/706,9 = 155,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 77,81 MPa

R = √(77,81² + 75,45²) = 108,4 MPa

σ₁ = C + R = 186,2 MPa

σ₂ = C − R = −30,58 MPa

Відповідь

σ₁ = 186,2 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 32,88 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/6,083 × 10⁻⁶ = 32877 N = 32,88 kN

Відповідь

P = 32,88 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 3,559 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 20000·848230/1,686 × 10⁶ = 10062 N

Напруження

σ₂ = 10062/2827 = 3,559 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 3,559 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 263,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2000² = 263189 N = 263,2 kN

Відповідь

P_cr = 263,2 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,318 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,318 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 4,126 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(200000/250) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,4²) = 4,126 Hz

Відповідь

f_d = 4,126 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 27,27 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/50 → k_eq = 60·50/(60 + 50) = 27,27 kN/m

Відповідь

k_eq = 27,27 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design