Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 12, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 20. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 12N₂ = 20η = 96%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (60 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (16 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 60C = 12D = 16

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 75 kW при 1450 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 75 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 115 kNділянка 1: Ø25 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 85 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 85 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 5 kg на пружині жорсткістю 8 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 5 kgk = 8 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 40 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 12 kN/m і k₂ = 60 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 63,66 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 39,79·20/12·0,96 = 63,66 N·m

Відповідь

T₂ = 63,66 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 281,3 rpm

Перший ступінь

n_B = 1500·15/60 = 375 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 375·12/16 = 281,3 rpm

Відповідь

n_out = 281,3 rpm

загальне передаточне відношення = 5,333 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,542 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Відповідь

φ = 5,542°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 73,74 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 493,9 N·m = 493929 N·mm

d_τ = ∛(16·493929/(π·50)) = 36,92 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·493929/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 73,74 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(36,92, 73,74) = 73,74 mm

Відповідь

d = 73,74 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 56,57 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((20 − −60)/2)² + −40²) = 56,57 MPa

Відповідь

τ_max = 56,57 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 83,67 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 65 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 95,41 MPa, σ₂ = 34,59 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(95,41² − 95,41·34,59 + 34,59²) = 83,67 MPa

Відповідь

σ_vM = 83,67 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 2089 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/490,9 = 244,5 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 244,5/117000 = 0,002089 = 2089 µε

Відповідь

ε = 2089 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 4,173 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 234,3·1000/100000 = 2,343 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 366,1·1000/200000 = 1,83 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,173 mm

Відповідь

δ = 4,173 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 19,99 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/6000² = 19991 N = 19,99 kN

Відповідь

P_cr = 19,99 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 90,7 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 90,7 mm

Відповідь

d = 90,7 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 132,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 5,513 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(8000/5) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6,366 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,366·√(1 − 0,5²) = 5,513 Hz

Відповідь

f_d = 5,513 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,707 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 12 + 60 = 72 kN/m

k_eq = 72·40/(72 + 40) = 25,71 kN/m

Власна частота

ω_n = √(25714/20) = 35,86 rad/s

f_n = 35,86/(2π) = 5,707 Hz

Відповідь

f_n = 5,707 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design