Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 125 мм при 2880 об/хв. Натяг становить 1200 Н на ведучій гілці та 300 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 18 зубців, а кожен сателіт — 24 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 900 rpm. Знайдіть частоту обертання n_c водила.

N_s = 18N_p = 24n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 75 kW при 500 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 1° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 300 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 30 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 25 kNділянка 1: Ø40 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 50 kg на пружині жорсткістю 100 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 50 kgk = 100 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 30 kN/m, нижня — k₂ = 80 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 16,96 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 18,85 m/s

Потужність

P = (1200 − 300)·18,85 = 16965 W = 16,96 kW

Відповідь

P = 16,96 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_c = 192,9 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·24 = 66

Формула Вілліса за нерухомого вінця

Підставте n_r = 0 і знайдіть частоту обертання водила.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −66/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·18/84 = 192,9 rpm

Відповідь

n_c = 192,9 rpm

Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 7,124 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(80000·251327) = 0,1243 rad

φ = 0,1243·180/π = 7,124°

Відповідь

φ = 7,124°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 75,3 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·60)) = 49,54 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·1,432 × 10⁶/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 75,3 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(49,54, 75,3) = 75,3 mm

Відповідь

d = 75,3 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 80,78 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((100 − −50)/2)² + −30²) = 80,78 MPa

Відповідь

τ_max = 80,78 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 3,841

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 35 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = 75,31 MPa, σ₂ = −5,311 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(75,31² − 75,31·(−5,311) + (−5,311)²) = 78,1 MPa

n = 300/78,1 = 3,841

Відповідь

n = 3,841

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,41 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/70000 = 0,001364 = 1364 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001364·2500 mm = 3,41 mm

Відповідь

δ = 3,41 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,381 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 221 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19,89·1000/117000 = 0,17 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 221·1000/100000 = 2,21 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,381 mm

Відповідь

δ = 2,381 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 52,99 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Відповідь

P_cr = 52,99 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 55,77 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 55,77 mm

Відповідь

d = 55,77 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 179,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 6,523 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(100000/50) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,4²) = 6,523 Hz

Відповідь

f_d = 6,523 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 21,82 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/80 → k_eq = 30·80/(30 + 80) = 21,82 kN/m

Відповідь

k_eq = 21,82 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design