Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 80 мм при 1500 об/хв приводить шків 500 мм пасом із прослизанням 1,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 500 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою 2900 rpm приводить колесо A (12 зубців), зчеплене з колесом B (40 зубців). Колесо C (20 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (72 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 97 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 1,5 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 40C = 20D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 50 kW при 1000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −50 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 355 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 130 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg спирається на пружину жорсткістю 150 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 1550 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 25 kgk = 150 kN/mc = 1550 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 40 kN/m, нижня — k₂ = 100 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 236,4 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1500·80/500 = 240 rpm

З прослизанням

n₂ = 240·0,985 = 236,4 rpm

Відповідь

n₂ = 236,4 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 55,77 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 2900·(12/40)·(20/72) = 241,7 rpm

ω_out = 2π·241,7/60 = 25,31 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 1500·0,97² = 1411 W

T_out = P_out/ω_out = 1411/25,31 = 55,77 N·m

Відповідь

T_out = 55,77 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 16,63 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·79522) = 0,2902 rad

φ = 0,2902·180/π = 16,63°

Відповідь

φ = 16,63°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 39,32 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·40)) = 39,32 mm

Відповідь

d = 39,32 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 37,98 °

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 20/82,46 = 0,2425, sin 2θ_s = −(−80)/82,46 = 0,9701

2θ_s = atan2(80, 20) = 75,96°

Кут на елементі

θ_s = 37,98°

перевірка: θ_s − θ_p = 37,98 − 82,98 = −45°

Відповідь

θ_s = 37,98°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,25

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 45 MPa, R = 87,32 MPa

σ₁ = 132,3 MPa, σ₂ = −42,32 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(132,3² − 132,3·(−42,32) + (−42,32)²) = 157,8 MPa

n = 355/157,8 = 2,25

Відповідь

n = 2,25

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 34,95 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3,617 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/7,154 × 10⁻⁶ = 34946 N = 34,95 kN

Відповідь

P = 34,95 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 521,5 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6,519 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0008) = 0,0008 (латунь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0008·6,519 × 10⁸ = 521504 N = 521,5 kN

Відповідь

P_max = 521,5 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 39,65 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1400² = 39655 N = 39,65 kN

Відповідь

P_cr = 39,65 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 31,58 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Відповідь

σ_cr = 31,58 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,4002

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·25) = 3873 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 1550/3873 = 0,4002

Відповідь

ζ = 0,4002

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 28,57 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/100 → k_eq = 40·100/(40 + 100) = 28,57 kN/m

Відповідь

k_eq = 28,57 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design