Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 160 мм при 1450 об/хв. Натяг становить 1200 Н на ведучій гілці та 300 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 80 мм при 1450 об/хв зі шківом 450 мм; центри розташовані на відстані 800 мм. Коефіцієнт тертя 0,3, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1000 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 450 mmC = 800 mmμ = 0,3T₁ = 1000 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 250 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 75 kW при 500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 70 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = 50 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 130 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 275 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = −80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 20 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 150 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через 5 циклів іде пік 4 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 50 mmx₅ = 4 mmn = 5

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 30 kN/m, нижня — k₂ = 60 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 10,93 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 12,15 m/s

Потужність

P = (1200 − 300)·12,15 = 10933 W = 10,93 kW

Відповідь

P = 10,93 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 3,351 kW

Кут обхвату

θ = 2,675 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,8025 = 2,231, T₂ = 1000/2,231 = 448,2 N

Потужність

P = (1000 − 448,2)·6,074 = 3,351 kW

Відповідь

P = 3,351 kW

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 37,78 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0,5904)) = 37,78 mm

d_i = 0,8·37,78 = 30,22 mm

Відповідь

d_o = 37,78 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 31,69 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 9,6 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Полярний момент інерції

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7,46 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·50/7,46 × 10⁶ = 9,6 MPa

Відповідь

τ_max = 9,6 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 77,02 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 90 MPa, R = √(40² + 50²) = 64,03 MPa

σ₁ = 154 MPa, σ₂ = 25,97 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(128,1, 154, 25,97)/2 = 77,02 MPa

Відповідь

τ_abs = 77,02 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 1,368

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 20 MPa, R = 100,5 MPa

σ₁ = 120,5 MPa, σ₂ = −80,5 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 201 MPa

n = 275/201 = 1,368

Відповідь

n = 1,368

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,546 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78,54 = 254,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/200000 = 0,001273 = 1273 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001273·2000 mm = 2,546 mm

Відповідь

δ = 2,546 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 314,5 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6,919 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0004545) = 0,0004545 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0004545·6,919 × 10⁸ = 314516 N = 314,5 kN

Відповідь

P_max = 314,5 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 209,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/700² = 209813 N = 209,8 kN

Відповідь

P_cr = 209,8 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 104,5 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 104,5 mm

Відповідь

d = 104,5 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 114,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,08014

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(50/4) = 0,5051

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5051/√(39,48 + 0,2552) = 0,08014

Відповідь

ζ = 0,08014

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 7,118 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/60 → k_eq = 30·60/(30 + 60) = 20 kN/m

Власна частота

ω_n = √(20000/10) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Відповідь

f_n = 7,118 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design