Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 12, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 15. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 12N₂ = 15η = 95%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (20 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (80 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 20B = 80C = 18D = 72

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 40 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1,5 m від A і 1,2 m від B, прикладено обертовий момент 200 N·m. Знайдіть реактивний момент T_A у стіні A.

d = 40 mmT₀ = 200 N·ma = 1,5 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg на пружині жорсткістю 15 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 15 kgk = 15 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на пружині k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 100 kN/m і k₂ = 20 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 19,76 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Відповідь

T₁ = 19,76 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 90 rpm

Перший ступінь

n_B = 1440·20/80 = 360 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 360·18/72 = 90 rpm

Відповідь

n_out = 90 rpm

загальне передаточне відношення = 16 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,746 °

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(26000·38350) = 0,1003 rad

φ = 0,1003·180/π = 5,746°

Відповідь

φ = 5,746°

4.Кручення валів

Відповідь: T_A = 88,89 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,2/2,7 = 88,89 N·m

T_B = 200·1,5/2,7 = 111,1 N·m

Відповідь

T_A = 88,89 N·m

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 35,78 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, −20 − −40) = 71,57°

Кут на елементі

θ_p = 35,78°

Відповідь

θ_p = 35,78°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 6,175 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 60 + −20·0,342 + −50·0,9397 = 6,175 MPa

Відповідь

σ_θ = 6,175 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 957,7 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490,9 = 112 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 112/117000 = 0,0009577 = 957,7 µε

Відповідь

ε = 957,7 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 290,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·3063 = 3,998 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0007273) = 0,0007273 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0007273·3,998 × 10⁸ = 290740 N = 290,7 kN

Відповідь

P_max = 290,7 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 78,48 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78,48 kN

Відповідь

P_cr = 78,48 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 21,93 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Відповідь

σ_cr = 21,93 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 4,613 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(15000/15) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,4²) = 4,613 Hz

Відповідь

f_d = 4,613 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,205 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 100 + 20 = 120 kN/m

k_eq = 120·5/(120 + 5) = 4,8 kN/m

Власна частота

ω_n = √(4800/25) = 13,86 rad/s

f_n = 13,86/(2π) = 2,205 Hz

Відповідь

f_n = 2,205 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design