Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс
n1·N1 = n2·N2
Крутний момент
T2 = T1·(N2/N1)·η
Потужність
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача
загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Зі статичного прогину
ωn = √(g/δst)
Критичне демпфування
cc = 2√(km) = 2mωn
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc
Частота загасаючих коливань
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно
k = k1 + k2
Пружини послідовно
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня
N1​ = 15N2​ = 36

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 15, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 36. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть вихідний крутний момент T2 на валу колеса.

P = 1,5 kWn1 = 960 rpmN1 = 15N2 = 36η = 98%
T2 = N·m
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
A = 20B = 30C = 16D = 18

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (20 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (30 зуб.). Колесо C (16 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (18 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання nout.

nin = 1440 rpmA = 20B = 30C = 16D = 18
nout = rpm
3.Кручення валівСередня
do​ = ?T = 200 N·m

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 200 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.

T = 200 N·mdi/do = 0,7τallow = 40 MPa
do = mm
4.Кручення валівСкладна
d = ?20 kW, 300 rpm

Суцільний вал (алюміній) передає 20 kW при 300 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa, а кут закручування — 0,5° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 20 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 140σy​ = 90τxy​ = 30MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τabs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σx = 140 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 10σy​ = 120τxy​ = 10MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (σz = 0). Границя текучості матеріалу 250 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σx = 10 MPaσy = 120 MPaτxy = 10 MPaσY = 250 MPa
n =
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
80 kNØ20120 GPaØ100/50500 mmδ = ?

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 30 mmМідь2 mØ 20 mmАлюміній1,5 mP = 20 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 20 kNділянка 1: Ø30 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Стійкість колонСередня
PL = 3 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 6 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Механічні коливанняСередня
k = 40 kN/mζ = 0,6m = 40 kg

Маса 40 kg на пружині жорсткістю 40 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,6. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.

m = 40 kgk = 40 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Механічні коливанняСкладна
k1​ = 50k2​ = 25m = 10 kg

Маса 10 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 50 kN/m і k₂ = 25 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.

m = 10 kgk1 = 50 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T2 = 35,09 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Вихідний крутний момент

T2 = 14,92·36/15·0,98 = 35,09 N·m

Відповідь

T2 = 35,09 N·m
2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: nout = 853,3 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

nB = 1440·20/30 = 960 rpm = nC

Другий ступінь

nout = 960·16/18 = 853,3 rpm

Відповідь

nout = 853,3 rpm

загальне передаточне відношення = 1,688 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: do = 32,24 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·40·0,7599)) = 32,24 mm
di = 0,7·32,24 = 22,57 mm

Відповідь

do = 32,24 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 29,42 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 73,12 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·636620/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 73,12 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(43,28, 73,12) = 73,12 mm

Відповідь

d = 73,12 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τabs = 77,03 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σmax − σmin)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

σxyCσ1​σ2​

Головні напруження в площині

C = 115 MPa, R = √(25² + 30²) = 39,05 MPa
σ1 = 154,1 MPa, σ2 = 75,95 MPa, σz = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(78,1, 154,1, 75,95)/2 = 77,03 MPa

Відповідь

τabs = 77,03 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,144

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σY; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження

C = 65 MPa, R = 55,9 MPa
σ1 = 120,9 MPa, σ2 = 9,098 MPa, σ3 = 0

Мізес

σvM = √(120,9² − 120,9·9,098 + 9,098²) = 116,6 MPa
n = 250/116,6 = 2,144

Відповідь

n = 2,144

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,05197 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5890 = 7,697 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·500/7,697 × 10⁸ = 0,05197 mm

Відповідь

δ = 0,05197 mm
8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 63,66 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 28,29 MPa
σ2 = 63,66 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 63,66 MPa

Відповідь

σmax = 63,66 MPa
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 137,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2100² = 137322 N = 137,3 kN

Відповідь

Pcr = 137,3 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 44,76 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/20 = 210

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Відповідь

σcr = 44,76 MPa
11.Механічні коливання

Відповідь: fd = 4,026 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ωn = √(40000/40) = 31,62 rad/s
fn = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Частота загасаючих коливань

fd = fn·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,6²) = 4,026 Hz

Відповідь

fd = 4,026 Hz
12.Механічні коливання

Відповідь: keq = 75 kN/m

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k1 + k2.

keq = 50 + 25 = 75 kN/m

Відповідь

keq = 75 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design