Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 270 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 5 mm і передаточним відношенням 3,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 270 mmm = 5 mmi = 3,5

N₁ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (45 зуб.). Колесо C (15 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 30B = 45C = 15D = 50

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 0,8 m передає обертовий момент 200 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 2°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 200 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 100 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 10 MPa і σᵧ = 40 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 95 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 300 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 25 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 25 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg спирається на пружину жорсткістю 5 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 60 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 25 kgk = 5 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 5 kN/m, нижня — k₂ = 10 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 24

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·270/5 = 108

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 108/(1 + 3,5) = 24

Відповідь

N₁ = 24

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 600 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 3000·30/45 = 2000 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 2000·15/50 = 600 rpm

Відповідь

n_out = 600 rpm

загальне передаточне відношення = 5 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d = 36,61 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·800/(26000·0,03491) = 176295 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 36,61 mm

Відповідь

d = 36,61 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 43,28 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Відповідь

d = 43,28 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 68,37 MPa

Потрібний радіус

C = (10 + 40)/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 95 − 25 = 70 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 15²) = 68,37 MPa

Відповідь

τ_xy = 68,37 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,328

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 85 MPa, R = 55,9 MPa

σ₁ = 140,9 MPa, σ₂ = 29,1 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(140,9² − 140,9·29,1 + 29,1²) = 128,8 MPa

n = 300/128,8 = 2,328

Відповідь

n = 2,328

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 37,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/5,305 × 10⁻⁶ = 37699 N = 37,7 kN

Відповідь

P = 37,7 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 987 kN

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·9346 = 1,184 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0008333) = 0,0008333 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0008333·1,184 × 10⁹ = 986984 N = 987 kN

Відповідь

P_max = 987 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 26,32 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2000² = 26319 N = 26,32 kN

Відповідь

P_cr = 26,32 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 94,46 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 94,46 mm

Відповідь

d = 94,46 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 254,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,08485

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·25) = 707,1 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 60/707,1 = 0,08485

Відповідь

ζ = 0,08485

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 3,333 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/10 → k_eq = 5·10/(5 + 10) = 3,333 kN/m

Відповідь

k_eq = 3,333 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design