Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 80 мм при 1440 об/хв. Натяг становить 1000 Н на ведучій гілці та 300 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 80 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 100 мм при 1440 об/хв зі шківом 250 мм; центри розташовані на відстані 1200 мм. Коефіцієнт тертя 0,35, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 2000 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 250 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 2000 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 5 kW при 1500 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 5 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 50 kNd = 16 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 80 kNділянка 1: Ø25 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 100 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 100 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через 5 циклів іде пік 1,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 50 mmx₅ = 1,1 mmn = 5

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 10 kN/m, нижня — k₂ = 40 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 4,222 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 6,032 m/s

Потужність

P = (1000 − 300)·6,032 = 4222 W = 4,222 kW

Відповідь

P = 4,222 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 9,833 kW

Кут обхвату

θ = 3,017 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^1,056 = 2,874, T₂ = 2000/2,874 = 695,8 N

Потужність

P = (2000 − 695,8)·7,54 = 9,833 kW

Відповідь

P = 9,833 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 16,81 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(80000·38350) = 0,2934 rad

φ = 0,2934·180/π = 16,81°

Відповідь

φ = 16,81°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 13,54 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·75·0,8704)) = 13,54 mm

d_i = 0,6·13,54 = 8,125 mm

Відповідь

d_o = 13,54 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 12,93 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 30 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((120 − 120)/2)² + 30²) = 30 MPa

Відповідь

τ_max = 30 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 32,61 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 50 + −70·−0,1736 + −30·0,9848 = 32,61 MPa

Відповідь

σ_θ = 32,61 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,487 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/200000 = 0,001243 = 1243 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001243·2000 mm = 2,487 mm

Відповідь

δ = 2,487 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 15,54 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 163·1000/117000 = 1,393 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·2000/100000 = 14,15 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 15,54 mm

Відповідь

δ = 15,54 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 18,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1400² = 18799 N = 18,8 kN

Відповідь

P_cr = 18,8 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 56,68 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,68 mm

Відповідь

d = 56,68 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 141,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1206

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(50/1,1) = 0,7633

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7633/√(39,48 + 0,5827) = 0,1206

Відповідь

ζ = 0,1206

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,183 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/40 → k_eq = 10·40/(10 + 40) = 8 kN/m

Власна частота

ω_n = √(8000/20) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Відповідь

f_n = 3,183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design