Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 125 мм при 960 об/хв приводить шків 500 мм пасом із прослизанням 3 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 960 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 500 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (60 зубців). Колесо C (20 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 180 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1440 rpmA = 30B = 60C = 20n_out = 180 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 10 mm закручують моментом 40 N·m. Два кінці розрахункової довжини 200 mm повертаються один відносно одного на 5,84° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 40 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5,84°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 15 kW при 300 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 25 mm сприймає згинальний момент 750 N·m разом з обертовим моментом 100 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 25 mmM = 750 N·mT = 100 N·m

σ₁ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 65 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 105 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg спирається на пружину жорсткістю 10 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 150 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 15 kgk = 10 kN/mc = 150 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на пружині k₃ = 25 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 60 kN/m і k₂ = 20 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 232,8 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

960·125/500 = 240 rpm

З прослизанням

n₂ = 240·0,97 = 232,8 rpm

Відповідь

n₂ = 232,8 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1440·30/60 = 720 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 20·720/180 = 80

Відповідь

N_D = 80

3.Кручення валів

Відповідь: G = 79,95 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,84·π/180 = 0,1019 rad

Модуль зсуву

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(981,7·0,1019) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Відповідь

G = 79,95 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 36,5 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36,5 mm

Відповідь

d = 36,5 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 10,9 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 70 − −80) = 21,8°

Кут на елементі

θ_p = 10,9°

Відповідь

θ_p = 10,9°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 491,1 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·25³) = 488,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 244,5 MPa

R = √(244,5² + 32,59²) = 246,6 MPa

σ₁ = C + R = 491,1 MPa

σ₂ = C − R = −2,163 MPa

Відповідь

σ₁ = 491,1 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 8,276 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/200000 = 0,004138 = 4138 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,004138·2000 mm = 8,276 mm

Відповідь

δ = 8,276 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 522,2 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 522,2 MPa

Відповідь

σ_max = 522,2 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,665 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/10000² = 2665 N = 2,665 kN

Відповідь

P_cr = 2,665 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,34 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1936

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·15) = 774,6 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 150/774,6 = 0,1936

Відповідь

ζ = 0,1936

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,473 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 60 + 20 = 80 kN/m

k_eq = 80·25/(80 + 25) = 19,05 kN/m

Власна частота

ω_n = √(19048/40) = 21,82 rad/s

f_n = 21,82/(2π) = 3,473 Hz

Відповідь

f_n = 3,473 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design