Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 160 мм при 960 об/хв. Натяг становить 1200 Н на ведучій гілці та 600 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (32 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (36 зуб.). Колесо C (20 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (60 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 960 rpmA = 32B = 36C = 20D = 60

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 200 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 30 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 60 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 75 kNd = 25 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 10 kg на пружині жорсткістю 100 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 10 kgk = 100 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 30 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 4,825 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 8,042 m/s

Потужність

P = (1200 − 600)·8,042 = 4825 W = 4,825 kW

Відповідь

P = 4,825 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 284,4 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 960·32/36 = 853,3 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 853,3·20/60 = 284,4 rpm

Відповідь

n_out = 284,4 rpm

загальне передаточне відношення = 3,375 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 23,86 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·80·0,9375)) = 23,86 mm

d_i = 0,5·23,86 = 11,93 mm

Відповідь

d_o = 23,86 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 23,35 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 38,79 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·572958/(π·50)) = 38,79 mm

Відповідь

d = 38,79 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 96,62 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 130 MPa, R = √(20² + 60²) = 63,25 MPa

σ₁ = 193,2 MPa, σ₂ = 66,75 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(126,5, 193,2, 66,75)/2 = 96,62 MPa

Відповідь

τ_abs = 96,62 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −76,72 MPa

Формула перетворення

σ_θ = −40 + 30·0,342 + −50·0,9397 = −76,72 MPa

Відповідь

σ_θ = −76,72 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 4,584 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/100000 = 0,001528 = 1528 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001528·3000 mm = 4,584 mm

Відповідь

δ = 4,584 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 676,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0005833) = 0,0005833 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0005833·1,159 × 10⁹ = 676228 N = 676,2 kN

Відповідь

P_max = 676,2 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 15,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

Відповідь

P_cr = 15,5 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 31,58 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Відповідь

σ_cr = 31,58 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 14,59 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(100000/10) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15,92 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15,92·√(1 − 0,4²) = 14,59 Hz

Відповідь

f_d = 14,59 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 14,24 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 30 = 40 kN/m

Власна частота

ω_n = √(40000/5) = 89,44 rad/s

f_n = 89,44/(2π) = 14,24 Hz

Відповідь

f_n = 14,24 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design