Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 125 мм при 1500 об/хв. Натяг становить 500 Н на ведучій гілці та 125 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 125 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 500 NT₂ = 125 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (45 зуб.). Колесо C (48 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 45C = 48D = 50

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 1450 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 70 kNділянка 1: Ø30 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg на пружині жорсткістю 1 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 8 kgk = 1 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на пружині k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 15 kN/m і k₂ = 60 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 3,682 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 9,817 m/s

Потужність

P = (500 − 125)·9,817 = 3682 W = 3,682 kW

Відповідь

P = 3,682 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 960 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 3000·15/45 = 1000 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1000·48/50 = 960 rpm

Відповідь

n_out = 960 rpm

загальне передаточне відношення = 3,125 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,7183 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Відповідь

φ = 0,7183°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 55,9 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·20/235619 = 55,9 MPa

Відповідь

τ_max = 55,9 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 58,28 °

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, −10 − 10) = 116,6°

Кут на елементі

θ_p = 58,28°

Відповідь

θ_p = 58,28°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 94,87 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 15 MPa, R = 54,08 MPa

σ₁ = 69,08 MPa, σ₂ = −39,08 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(69,08² − 69,08·(−39,08) + (−39,08)²) = 94,87 MPa

Відповідь

σ_vM = 94,87 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 49,11 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/6,109 × 10⁻⁶ = 49108 N = 49,11 kN

Відповідь

P = 49,11 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,224 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·1000/70000 = 1,415 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 222,8·2000/117000 = 3,809 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,224 mm

Відповідь

δ = 5,224 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 143,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2000² = 143932 N = 143,9 kN

Відповідь

P_cr = 143,9 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 44,44 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 44,44 mm

Відповідь

d = 44,44 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 94,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,667 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(1000/8) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,35²) = 1,667 Hz

Відповідь

f_d = 1,667 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 1,723 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 15 + 60 = 75 kN/m

k_eq = 75·5/(75 + 5) = 4,688 kN/m

Власна частота

ω_n = √(4688/40) = 10,83 rad/s

f_n = 10,83/(2π) = 1,723 Hz

Відповідь

f_n = 1,723 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design