Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 22 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з 16 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 22 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 2,5 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 12 зубців, а кожен сателіт — 24 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1440 rpm. Знайдіть частоту обертання n_c водила.

N_s = 12N_p = 24n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 500 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 20 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 150 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1000 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 1 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 50° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 50°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 300 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 75 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 75 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 30 mm через 5 циклів іде пік 8,5 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 30 mmx₅ = 8,5 mmn = 5

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 15 kN/m і k₂ = 15 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 10942 N

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 22000/100,5 = 218,8 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·16 = 40 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·218,8/0,04 = 10942 N

Відповідь

F_t = 10942 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_c = 240 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·24 = 60

Формула Вілліса за нерухомого вінця

Підставте n_r = 0 і знайдіть частоту обертання водила.

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −60/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·12/72 = 240 rpm

Відповідь

n_c = 240 rpm

Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 40,62 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0,7599)) = 40,62 mm

d_i = 0,7·40,62 = 28,43 mm

Відповідь

d_o = 40,62 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 37,07 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 22,11 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm

Відповідь

d = 22,11 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 76,4 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 80 MPa, R = √(70² + (−20)²) = 72,8 MPa

σ₁ = 152,8 MPa, σ₂ = 7,199 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(145,6, 152,8, 7,199)/2 = 76,4 MPa

Відповідь

τ_abs = 76,4 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 70,66 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σ_h = pr/t і осьове напруження σ_a = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1·500/5 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 50·sin²50° + 100·cos²50° = 70,66 MPa

Відповідь

σ_n = 70,66 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,03682 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6,519 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·300/6,519 × 10⁸ = 0,03682 mm

Відповідь

δ = 0,03682 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 18,76 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·1257/300 = 460767 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·460767/586431 = 23571 N

Напруження

σ₂ = 23571/1257 = 18,76 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 18,76 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 34,33 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34,33 kN

Відповідь

P_cr = 34,33 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 59,39 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 59,39 mm

Відповідь

d = 59,39 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 101, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04011

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/5)·ln(30/8,5) = 0,2522

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2522/√(39,48 + 0,06362) = 0,04011

Відповідь

ζ = 0,04011

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,359 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 15 = 30 kN/m

Власна частота

ω_n = √(30000/40) = 27,39 rad/s

f_n = 27,39/(2π) = 4,359 Hz

Відповідь

f_n = 4,359 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design