Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 30, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 60. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 30N₂ = 60η = 98%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою 2900 rpm приводить колесо A (15 зубців), зчеплене з колесом B (60 зубців). Колесо C (48 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (50 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 98 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 7,5 kWn_in = 2900 rpmA = 15B = 60C = 48D = 50η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (латунь; зовнішній діаметр 80 mm, внутрішній діаметр 56 mm, довжина 0,8 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 2000 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 2000 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 25 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 750 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,5 m далі, діє момент 200 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 25 mmT_B = 750 N·mT_C = 200 N·mAB = 0,8 mBC = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 40 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 20° за годинниковою стрілкою. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1000 mm і товщиною стінки 6 mm містить газ під надлишковим тиском 2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 20° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1000 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 50 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 40 kNділянка 1: Ø25 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 10 mm через 2 циклів іде пік 7,8 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 7,8 mmn = 2

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 60 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 5 kN/m і k₂ = 10 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 39,79 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Відповідь

T₁ = 39,79 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 98,83 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 2900·(15/60)·(48/50) = 696 rpm

ω_out = 2π·696/60 = 72,88 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 7500·0,98² = 7203 W

T_out = P_out/ω_out = 7203/72,88 = 98,83 N·m

Відповідь

T_out = 98,83 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,7692 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(39000·3,056 × 10⁶) = 0,01343 rad

φ = 0,01343·180/π = 0,7692°

Відповідь

φ = 0,7692°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 8,045 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 750 = −550 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −550000·800/(26000·38350) = −0,4413 rad

φ_BC = 200000·1500/(26000·38350) = 0,3009 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = −0,4413 + 0,3009 = −0,1404 rad → |φ_C| = 8,045°

Відповідь

φ_C = 8,045°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 3,056 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 30 − 10·0,766 − (−30)·(−0,6428) = 3,056 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 56,94 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 3,056 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 156,9 MPa

Напруження в стінці

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/6 = 166,7 MPa

σ_a = pr/(2t) = 83,33 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 83,33·sin²20° + 166,7·cos²20° = 156,9 MPa

Відповідь

σ_n = 156,9 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,158 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/70000 = 0,006316 = 6316 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,006316·500 mm = 3,158 mm

Відповідь

δ = 3,158 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,991 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 81,49·1000/100000 = 0,8149 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·2000/117000 = 2,176 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,991 mm

Відповідь

δ = 2,991 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 56,06 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2800² = 56060 N = 56,06 kN

Відповідь

P_cr = 56,06 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 25,18 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/5 = 280

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Відповідь

σ_cr = 25,18 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,01977

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(10/7,8) = 0,1242

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1242/√(39,48 + 0,01543) = 0,01977

Відповідь

ζ = 0,01977

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,898 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 5 + 10 = 15 kN/m

k_eq = 15·60/(15 + 60) = 12 kN/m

Власна частота

ω_n = √(12000/20) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

Відповідь

f_n = 3,898 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design