Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 120 мм при 960 об/хв приводить шків 200 мм пасом із прослизанням 4 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 200 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 16 зубців, а кожен сателіт — 24 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1500 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 16N_p = 24n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (сталь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 30 mm і довжину 2,5 m; ділянка BC має діаметр 25 mm і довжину 1 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 250 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 250 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) передає 75 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa, а кут закручування — 0,75° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 460 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 150 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 150 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 60 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 5 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 5 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 15 kg спирається на пружину жорсткістю 40 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 230 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 15 kgk = 40 kN/mc = 230 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 15 kN/m, нижня — k₂ = 40 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 553 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

960·120/200 = 576 rpm

З прослизанням

n₂ = 576·0,96 = 553 rpm

Відповідь

n₂ = 553 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 375 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·24 = 64

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·16/64 = −375 rpm

|n_r| = 375 rpm

Відповідь

n_r = 375 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 10,3 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·2500/(80000·79522) = 0,09824 rad

φ_BC = 250000·1000/(80000·38350) = 0,08149 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,09824 + 0,08149 = 0,1797 rad = 10,3°

Відповідь

φ_C = 10,3°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 55,21 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 55,21 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(40,18, 55,21) = 55,21 mm

Відповідь

d = 55,21 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 76,72 °

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 70 − 110) = 153,4°

Кут на елементі

θ_p = 76,72°

Відповідь

θ_p = 76,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 6,782

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 40 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 71,62 MPa, σ₂ = 8,377 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(71,62² − 71,62·8,377 + 8,377²) = 67,82 MPa

n = 460/67,82 = 6,782

Відповідь

n = 6,782

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1025 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 150000·400/5,851 × 10⁸ = 0,1025 mm

Відповідь

δ = 0,1025 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 614,6 kN

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0008571) = 0,0008571 (алюміній)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0008571·7,171 × 10⁸ = 614630 N = 614,6 kN

Відповідь

P_max = 614,6 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 49,13 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/750² = 49129 N = 49,13 kN

Відповідь

P_cr = 49,13 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 25,35 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 25,35 mm

Відповідь

d = 25,35 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 315,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1485

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·15) = 1549 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 230/1549 = 0,1485

Відповідь

ζ = 0,1485

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,351 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/40 → k_eq = 15·40/(15 + 40) = 10,91 kN/m

Власна частота

ω_n = √(10909/50) = 14,77 rad/s

f_n = 14,77/(2π) = 2,351 Hz

Відповідь

f_n = 2,351 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design