Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 90 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 2 mm і передаточним відношенням 2 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 90 mmm = 2 mmi = 2

N₂ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою 1450 rpm приводить колесо A (48 зубців), зчеплене з колесом B (60 зубців). Колесо C (25 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (32 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 96 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 5,5 kWn_in = 1450 rpmA = 48B = 60C = 25D = 32η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 1,5 m від A, діє обертовий момент 400 N·m, а на вільному кінці C, ще на 0,8 m далі, діє момент 200 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 30 mmT_B = 400 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,5 mBC = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −70 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 20 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 20 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 15 mm через 2 циклів іде пік 10,3 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 10,3 mmn = 2

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 100 kN/m і k₂ = 40 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 60

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/2 = 90

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 90/(1 + 2) = 30

N₂ = 2·30 = 60

Відповідь

N₂ = 60

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 53,41 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 1450·(48/60)·(25/32) = 906,3 rpm

ω_out = 2π·906,3/60 = 94,9 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 5500·0,96² = 5069 W

T_out = P_out/ω_out = 5069/94,9 = 53,41 N·m

Відповідь

T_out = 53,41 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,245 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(26000·613592) = 0,03918 rad

φ = 0,03918·180/π = 2,245°

Відповідь

φ = 2,245°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 3,88 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 400 = −200 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −200000·1500/(26000·79522) = −0,1451 rad

φ_BC = 200000·800/(26000·79522) = 0,07739 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = −0,1451 + 0,07739 = −0,06771 rad → |φ_C| = 3,88°

Відповідь

φ_C = 3,88°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 36,24 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 30/99,62 = 0,3011, sin 2θ_s = −(−95)/99,62 = 0,9536

2θ_s = atan2(95, 30) = 72,47°

Кут на елементі

θ_s = 36,24°

перевірка: θ_s − θ_p = 36,24 − 81,24 = −45°

Відповідь

θ_s = 36,24°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −17,59 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 25 + −95·−0,1736 + −60·0,9848 = −17,59 MPa

Відповідь

σ_θ = −17,59 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 10882 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1273/117000 = 0,01088 = 10882 µε

Відповідь

ε = 10882 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 24,25 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·706,9/400 = 212058 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·212058/494801 = 17143 N

Напруження

σ₂ = 17143/706,9 = 24,25 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 24,25 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 731,1 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1500² = 731082 N = 731,1 kN

Відповідь

P_cr = 731,1 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 72,94 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 72,94 mm

Відповідь

d = 72,94 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 219,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,0299

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(15/10,3) = 0,188

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,188/√(39,48 + 0,03533) = 0,0299

Відповідь

ζ = 0,0299

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 140 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 40 = 140 kN/m

Відповідь

k_eq = 140 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design