Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 4 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 25, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 60. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 25N₂ = 60η = 100%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 120 мм і шків 315 мм, центри яких розташовані на відстані 1200 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 120 mmd₂ = 315 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (латунь; зовнішній діаметр 60 mm, внутрішній діаметр 45 mm, довжина 2 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 750 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 750 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 50 kW при 1500 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa, а кут закручування — 0,75° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 45° за годинниковою стрілкою. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 300 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = −30 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 125 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 125 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 50 kg спирається на пружину жорсткістю 150 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 1640 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 50 kgk = 150 kN/mc = 1640 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 30 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 63,22 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151,8 = 26,34 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 26,34·60/25·1 = 63,22 N·m

Відповідь

T₂ = 63,22 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 170,7 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,08125) = 4,66°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·4,66 = 170,7°

Відповідь

θ = 170,7°

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,534 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Кут закручування

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·2000/(39000·869767) = 0,04422 rad

φ = 0,04422·180/π = 2,534°

Відповідь

φ = 2,534°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 55,56 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·40)) = 34,35 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 55,56 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(34,35, 55,56) = 55,56 mm

Відповідь

d = 55,56 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 60 MPa

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 50 − 90·0 − 10·(−1) = 60 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 40 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 60 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 3,841

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = −35 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = 5,311 MPa, σ₂ = −75,31 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(5,311² − 5,311·(−75,31) + (−75,31)²) = 78,1 MPa

n = 300/78,1 = 3,841

Відповідь

n = 3,841

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 13642 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 75·1000/78,54 = 954,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 954,9/70000 = 0,01364 = 13642 µε

Відповідь

ε = 13642 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 633,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0008) = 0,00075 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,00075·8,443 × 10⁸ = 633227 N = 633,2 kN

Відповідь

P_max = 633,2 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 12,56 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN

Відповідь

P_cr = 12,56 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 49,59 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 49,59 mm

Відповідь

d = 49,59 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 100,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,2994

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·50) = 5477 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 1640/5477 = 0,2994

Відповідь

ζ = 0,2994

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 40 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 30 = 40 kN/m

Відповідь

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design