Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 20. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 5,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 20η = 97%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 80 мм при 1440 об/хв зі шківом 250 мм; центри розташовані на відстані 800 мм. Коефіцієнт тертя 0,3, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1500 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 80 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 250 mmC = 800 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (латунь; зовнішній діаметр 75 mm, внутрішній діаметр 45 mm, довжина 1,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1500 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1500 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 1 m від A, діє обертовий момент 250 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1 m далі, діє момент 750 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 30 mmT_B = 250 N·mT_C = 750 N·mAB = 1 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає згинальний момент 500 N·m разом з обертовим моментом 1500 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 40 mmM = 500 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 115 kNділянка 1: Ø35 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 15 mm через 2 циклів іде пік 9,1 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 9,1 mmn = 2

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на пружині k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 30 kN/m і k₂ = 25 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 37,74 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 35,01·20/18·0,97 = 37,74 N·m

Відповідь

T₂ = 37,74 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 5,29 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,929 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,8786 = 2,408, T₂ = 1500/2,408 = 623 N

Потужність

P = (1500 − 623)·6,032 = 5,29 kW

Відповідь

P = 5,29 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,223 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1500/(39000·2,704 × 10⁶) = 0,02134 rad

φ = 0,02134·180/π = 1,223°

Відповідь

φ = 1,223°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 141,5 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 250 = 500 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Відповідь

τ_max = 141,5 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 33,54 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((130 − 100)/2)² + 30²) = 33,54 MPa

Відповідь

τ_max = 33,54 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 165,6 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·40³) = 79,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119,4 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 39,79 MPa

R = √(39,79² + 119,4²) = 125,8 MPa

σ₁ = C + R = 165,6 MPa

σ₂ = C − R = −86,03 MPa

Відповідь

σ₁ = 165,6 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 2619 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/490,9 = 183,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 183,3/70000 = 0,002619 = 2619 µε

Відповідь

ε = 2619 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 366,1 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 366,1 MPa

Відповідь

σ_max = 366,1 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 262,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2800² = 262266 N = 262,3 kN

Відповідь

P_cr = 262,3 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 62,66 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Відповідь

σ_cr = 62,66 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,03974

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/2)·ln(15/9,1) = 0,2499

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2499/√(39,48 + 0,06244) = 0,03974

Відповідь

ζ = 0,03974

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 8,145 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 30 + 25 = 55 kN/m

k_eq = 55·50/(55 + 50) = 26,19 kN/m

Власна частота

ω_n = √(26190/10) = 51,18 rad/s

f_n = 51,18/(2π) = 8,145 Hz

Відповідь

f_n = 8,145 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design