Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 90 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 2 mm і передаточним відношенням 4 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 90 mmm = 2 mmi = 4

N₁ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (32 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (60 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (50 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1450 rpmA = 32B = 60C = 24D = 50

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 12 mm закручують моментом 30 N·m. Два кінці розрахункової довжини 250 mm повертаються один відносно одного на 5,41° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 30 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 5,41°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 75 kW при 300 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 60 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 80 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 60 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 110 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 110 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 2 kg на пружині жорсткістю 100 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,6. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 2 kgk = 100 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 25 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 5 kN/m і k₂ = 60 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 18

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/2 = 90

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 90/(1 + 4) = 18

Відповідь

N₁ = 18

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 371,2 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1450·32/60 = 773,3 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 773,3·24/50 = 371,2 rpm

Відповідь

n_out = 371,2 rpm

загальне передаточне відношення = 3,906 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: G = 39,02 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 5,41·π/180 = 0,09442 rad

Модуль зсуву

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(2036·0,09442) = 39018 MPa

G = 39,02 GPa

Відповідь

G = 39,02 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 31,25 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·40/3,056 × 10⁶ = 31,25 MPa

Відповідь

τ_max = 31,25 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 72,11 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = −20 MPa, R = √(40² + 60²) = 72,11 MPa

σ₁ = 52,11 MPa, σ₂ = −92,11 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(144,2, 52,11, 92,11)/2 = 72,11 MPa

Відповідь

τ_abs = 72,11 MPa

Тут σ₁ і σ₂ мають протилежні знаки, тож максимум у площині R є й абсолютним максимумом.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −65 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −65·1 + −60·0 = −65 MPa

Відповідь

τ_θ = −65 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,425 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/70000 = 0,001617 = 1617 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001617·1500 mm = 2,425 mm

Відповідь

δ = 2,425 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 8,645 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·1,555 × 10⁶/1,909 × 10⁶ = 24444 N

Напруження

σ₂ = 24444/2827 = 8,645 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 8,645 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 93,25 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/4200² = 93250 N = 93,25 kN

Відповідь

P_cr = 93,25 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 41,04 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 41,04 mm

Відповідь

d = 41,04 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 97,45, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 28,47 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(100000/2) = 223,6 rad/s

f_n = 223,6/(2π) = 35,59 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 35,59·√(1 − 0,6²) = 28,47 Hz

Відповідь

f_d = 28,47 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 9,564 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 5 + 60 = 65 kN/m

k_eq = 65·25/(65 + 25) = 18,06 kN/m

Власна частота

ω_n = √(18056/5) = 60,09 rad/s

f_n = 60,09/(2π) = 9,564 Hz

Відповідь

f_n = 9,564 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design