Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 11 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 20, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 80η = 100%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 15 зубців, а кожен сателіт — 20 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 3000 rpm. Знайдіть частоту обертання n_c водила.

N_s = 15N_p = 20n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 20 mm закручують моментом 20 N·m. Два кінці розрахункової довжини 200 mm повертаються один відносно одного на 0,56° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 20 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0,56°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 30 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 250 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 30 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 100 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 100 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 12 mm через 4 циклів іде пік 2,6 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 12 mmx₄ = 2,6 mmn = 4

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 25 kN/m і k₂ = 40 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 280,1 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157,1 = 70,03 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 70,03·80/20·1 = 280,1 N·m

Відповідь

T₂ = 280,1 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_c = 642,9 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·20 = 55

Формула Вілліса за нерухомого вінця

Підставте n_r = 0 і знайдіть частоту обертання водила.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −55/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·15/70 = 642,9 rpm

Відповідь

n_c = 642,9 rpm

Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.

3.Кручення валів

Відповідь: G = 26,05 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,56·π/180 = 0,009774 rad

Модуль зсуву

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(15708·0,009774) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Відповідь

G = 26,05 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 31,89 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·60)) = 31,89 mm

Відповідь

d = 31,89 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −45 °

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 10 − 10) = −90°

Кут на елементі

θ_p = −45°

Відповідь

θ_p = −45°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,988

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 80 MPa, R = 14,14 MPa

σ₁ = 94,14 MPa, σ₂ = 65,86 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(94,14² − 94,14·65,86 + 65,86²) = 83,67 MPa

n = 250/83,67 = 2,988

Відповідь

n = 2,988

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,432 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/100000 = 0,0009549 = 954,9 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0009549·1500 mm = 1,432 mm

Відповідь

δ = 1,432 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 168,9 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0004167) = 0,0004167 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0004167·4,053 × 10⁸ = 168861 N = 168,9 kN

Відповідь

P_max = 168,9 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 14,62 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/6000² = 14622 N = 14,62 kN

Відповідь

P_cr = 14,62 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 44,81 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 44,81 mm

Відповідь

d = 44,81 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 111,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,06074

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(12/2,6) = 0,3823

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3823/√(39,48 + 0,1462) = 0,06074

Відповідь

ζ = 0,06074

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 65 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 40 = 65 kN/m

Відповідь

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design