Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 45, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 72. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 7,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 45N₂ = 72η = 96%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (18 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (20 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (60 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 20C = 24D = 60

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (сталь; зовнішній діаметр 40 mm, внутрішній діаметр 24 mm, довжина 1,2 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1500 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1500 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 2000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 0,5 m далі, діє момент 1000 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 30 mmT_B = 2000 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,8 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 60 mm сприймає осьову розтягувальну силу 170 kN разом з обертовим моментом 2000 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 60 mmF = 170 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 120 kNділянка 1: Ø30 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 65 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 65 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 40 mm через 4 циклів іде пік 14,6 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 40 mmx₄ = 14,6 mmn = 4

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 50 kN/m і k₂ = 100 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 114,6 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 74,6·72/45·0,96 = 114,6 N·m

Відповідь

T₂ = 114,6 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 540 rpm

Перший ступінь

n_B = 1500·18/20 = 1350 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1350·24/60 = 540 rpm

Відповідь

n_out = 540 rpm

загальне передаточне відношення = 2,778 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,893 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Кут закручування

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1200/(80000·218755) = 0,1029 rad

φ = 0,1029·180/π = 5,893°

Відповідь

φ = 5,893°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 188,6 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 2000 = −1000 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188,6 MPa

Відповідь

τ_max = 188,6 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −38,74 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 20/92,2 = 0,2169, sin 2θ_s = −90/92,2 = −0,9762

2θ_s = atan2(−90, 20) = −77,47°

Кут на елементі

θ_s = −38,74°

перевірка: θ_s − θ_p = −38,74 − 6,264 = −45°

Відповідь

θ_s = −38,74°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 85,99 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 170000/(π·60²/4) = 170000/2827 = 60,13 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 30,06 MPa

R = √(30,06² + 47,16²) = 55,92 MPa

σ₁ = C + R = 85,99 MPa

σ₂ = C − R = −25,86 MPa

Відповідь

σ₁ = 85,99 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 636,6 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314,2 = 127,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Відповідь

ε = 636,6 µε

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 9,095 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 382 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 169,8·1500/70000 = 3,638 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·1000/70000 = 5,457 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,095 mm

Відповідь

δ = 9,095 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 441 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

Відповідь

P_cr = 441 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 119,9 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 119,9 mm

Відповідь

d = 119,9 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 200,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04007

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(40/14,6) = 0,252

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,252/√(39,48 + 0,06349) = 0,04007

Відповідь

ζ = 0,04007

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 150 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 100 = 150 kN/m

Відповідь

k_eq = 150 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design