Зубчасті колеса й передачі
- Зачеплення коліс
- n1·N1 = n2·N2
- Крутний момент
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Потужність
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Багатоступенева передача
- загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів
Деталі машин: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Кручення валів
- Дотичне напруження
- τ = T·r/J
- Суцільний вал
- J = πd⁴/32
- Порожнистий вал
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Кут закручування
- φ = TL/(GJ)
- Потужність
- P = T·ω = 2πnT/60
Метод
- Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
- Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
- Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
- Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.
Коло Мора й перетворення напружень
- Центр
- C = (σx + σy)/2
- Радіус
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Головні напруження
- σ1,2 = C ± R
- Головний напрямок
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Похила площадка
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Метод
- Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
- Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
- Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Осьове напруження й деформація
- Нормальне напруження
- σ = F/A
- Деформація
- ε = ΔL/L
- Закон Гука
- σ = E·ε
- Видовження
- ΔL = FL/(EA)
- Температурна деформація
- εT = α·ΔT
Стійкість колон
- Критична сила Ейлера
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Коефіцієнт розрахункової довжини
- K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
- Критичне напруження
- σcr = Pcr/A
- Гнучкість
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Механічні коливання
- Власна частота
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Зі статичного прогину
- ωn = √(g/δst)
- Критичне демпфування
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Коефіцієнт демпфування
- ζ = c/cc
- Частота загасаючих коливань
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Логарифмічний декремент
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Пружини паралельно
- k = k1 + k2
- Пружини послідовно
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Задачі для практики
1.Зубчасті колеса й передачіСередня
Двигун потужністю 15 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 24, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 40. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть крутний момент T1 на валу двигуна.
P = 15 kWn1 = 1450 rpmN1 = 24N2 = 40η = 97%
T1 = N·m
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 2880 rpm і приводить колесо B (24 зубців). Колесо C (36 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 1037 rpm. Скільки зубців ND має мати колесо D?
nin = 2880 rpmA = 12B = 24C = 36nout = 1037 rpm
ND =
3.Кручення валівСередня
Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.
T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Суцільний вал (алюміній) діаметром 25 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,8 m від A і 1 m від B, прикладено обертовий момент 500 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.
d = 25 mmT0 = 500 N·ma = 0,8 mb = 1 m
τmax = MPa
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τmax.
σx = −80 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.
σx = 160 MPaσy = 80 MPaτxy = 10 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).
P = 55 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.
P = 60 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Стійкість колонСередня
Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.
L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Механічні коливанняСередня
Маса 25 kg спирається на пружину жорсткістю 80 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 1410 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
m = 25 kgk = 80 kN/mc = 1410 N·s/m
ζ =
12.Механічні коливанняСкладна
Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 30 kN/m і k₂ = 100 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.
m = 40 kgk1 = 30 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3Розчини
1.Зубчасті колеса й передачі
Відповідь: T1 = 98,79 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Момент двигуна
ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/151,8 = 98,79 N·m
Відповідь
T1 = 98,79 N·m
2.Зубчасті колеса й передачі
Відповідь: ND = 50
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Частота обертання проміжного вала
nB = nC = 2880·12/24 = 1440 rpm
Зубці колеса D
ND = C·nC/nout = 36·1440/1037 = 50
Відповідь
ND = 50
3.Кручення валів
Відповідь: φ = 0,5699 °
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Полярний момент інерції
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Кут закручування
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(80000·251327) = 0,009947 rad
φ = 0,009947·180/π = 0,5699°
Відповідь
φ = 0,5699°
4.Кручення валів
Відповідь: τmax = 90,54 MPa
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).
Рівновага і сумісність деформацій
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1/1,8 = 277,8 N·m
TB = 500·0,8/1,8 = 222,2 N·m
Найбільше дотичне напруження
Визначальним є більший із двох моментів (діаметр однаковий).
τmax = 16·277778/(π·25³) = 90,54 MPa
Відповідь
τmax = 90,54 MPa
5.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: τmax = 60,83 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Радіус кола Мора
τmax = R = √(((−80 − −60)/2)² + −60²) = 60,83 MPa
Відповідь
τmax = 60,83 MPa
6.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: σθ = 159,6 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Формула перетворення
σθ = 120 + 40·0,866 + 10·0,5 = 159,6 MPa
Відповідь
σθ = 159,6 MPa
7.Осьове напруження й деформація
Відповідь: ε = 1112 µε
Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).
Напруження
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa
Деформація (закон Гука)
E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 77,81/70000 = 0,001112 = 1112 µε
Відповідь
ε = 1112 µε
8.Осьове напруження й деформація
Відповідь: σmax = 298,4 MPa
Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.
Однакова сила в обох ділянках
Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 84,88 MPa
σ2 = 298,4 MPa
Найбільше напруження
Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.
σmax = 298,4 MPa
Відповідь
σmax = 298,4 MPa
9.Стійкість колон
Відповідь: Pcr = 17,13 kN
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
Розрахункова довжина
KL = 1·3000 = 3000 mm
Критична сила
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/3000² = 17135 N = 17,13 kN
Відповідь
Pcr = 17,13 kN
10.Стійкість колон
Відповідь: σcr = 111 MPa
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Радіус інерції і гнучкість
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133,3
Критичне напруження
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa
Відповідь
σcr = 111 MPa
11.Механічні коливання
Відповідь: ζ = 0,4985
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Критичне демпфування
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·25) = 2828 N·s/m
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc = 1410/2828 = 0,4985
Відповідь
ζ = 0,4985
ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.
12.Механічні коливання
Відповідь: keq = 130 kN/m
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Еквівалентна жорсткість
Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k1 + k2.
keq = 30 + 100 = 130 kN/m
Відповідь
keq = 130 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design