Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 60. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 1,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 60η = 100%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (32 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1500 rpm і приводить колесо B (72 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (15 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1500 rpmA = 32B = 72C = 12D = 15

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 75 kW при 300 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa, а кут закручування — 0,75° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 500 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 1,2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 25° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 500 mmt = 10 mmp = 1,2 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 35 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 65 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 25 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 25 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg спирається на пружину жорсткістю 2 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 50 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 8 kgk = 2 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 10 kN/m, нижня — k₂ = 20 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 49,74 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 14,92·60/18·1 = 49,74 N·m

Відповідь

T₂ = 49,74 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 533,3 rpm

Перший ступінь

n_B = 1500·32/72 = 666,7 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 666,7·12/15 = 533,3 rpm

Відповідь

n_out = 533,3 rpm

загальне передаточне відношення = 2,813 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,542 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Відповідь

φ = 5,542°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 91,94 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 2387 N·m = 2,387 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·80)) = 53,37 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·2,387 × 10⁶/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 91,94 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(53,37, 91,94) = 91,94 mm

Відповідь

d = 91,94 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 58,28 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −80 − −20) = 116,6°

Кут на елементі

θ_p = 58,28°

Відповідь

θ_p = 58,28°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 27,32 MPa

Напруження в стінці

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,2·250/10 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 15·sin²25° + 30·cos²25° = 27,32 MPa

Відповідь

σ_n = 27,32 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 13,37 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 445,6/100000 = 0,004456 = 4456 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,004456·3000 mm = 13,37 mm

Відповідь

δ = 13,37 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,325 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,73·2000/200000 = 0,5173 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 323,3·500/200000 = 0,8082 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,325 mm

Відповідь

δ = 1,325 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 29,61 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29,61 kN

Відповідь

P_cr = 29,61 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 49,28 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 49,28 mm

Відповідь

d = 49,28 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 162,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1976

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·8) = 253 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 50/253 = 0,1976

Відповідь

ζ = 0,1976

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 1,838 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/20 → k_eq = 10·20/(10 + 20) = 6,667 kN/m

Власна частота

ω_n = √(6667/50) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Відповідь

f_n = 1,838 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design