Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 25. Втратами знехтуйте. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 3 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 18N₂ = 25η = 100%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (50 зуб.). Колесо C (16 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1440 rpmA = 30B = 50C = 16D = 72

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) завдовжки 0,5 m передає обертовий момент 100 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 0,5°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 100 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 1000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2,5 m далі, діє момент 100 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 60 mmT_B = 1000 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 110 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 20 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 60 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 60 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 60 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 10 kg на пружині жорсткістю 150 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 10 kgk = 150 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 60 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 20 kN/m і k₂ = 20 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 19,89 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Відповідь

T₁ = 19,89 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 192 rpm

Перший ступінь

n_B = 1440·30/50 = 864 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 864·16/72 = 192 rpm

Відповідь

n_out = 192 rpm

загальне передаточне відношення = 7,5 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d = 29,23 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·500/(80000·0,008727) = 71620 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 29,23 mm

Відповідь

d = 29,23 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 0,5427 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 1000 = −900 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −900000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = −0,01451 rad

φ_BC = 100000·2500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,005038 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = −0,01451 + 0,005038 = −0,009472 rad → |φ_C| = 0,5427°

Відповідь

φ_C = 0,5427°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 58,31 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−80 − −20)/2)² + 50²) = 58,31 MPa

Відповідь

τ_max = 58,31 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 84,02 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 110 + 0·−0,5 + −30·0,866 = 84,02 MPa

Відповідь

σ_θ = 84,02 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1209 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/706,9 = 28,29 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 28,29/117000 = 0,0002418 = 241,8 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0002418·500 mm = 0,1209 mm

Відповідь

δ = 0,1209 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 8,921 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·1,037 × 10⁶/1,233 × 10⁶ = 25223 N

Напруження

σ₂ = 25223/2827 = 8,921 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 8,921 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 37,85 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37,85 kN

Відповідь

P_cr = 37,85 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 57,78 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,78 mm

Відповідь

d = 57,78 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 207,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 18,26 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(150000/10) = 122,5 rad/s

f_n = 122,5/(2π) = 19,49 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 19,49·√(1 − 0,35²) = 18,26 Hz

Відповідь

f_d = 18,26 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 11,03 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 20 + 20 = 40 kN/m

k_eq = 40·60/(40 + 60) = 24 kN/m

Власна частота

ω_n = √(24000/5) = 69,28 rad/s

f_n = 69,28/(2π) = 11,03 Hz

Відповідь

f_n = 11,03 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design