Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс
n1·N1 = n2·N2
Крутний момент
T2 = T1·(N2/N1)·η
Потужність
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача
загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Зі статичного прогину
ωn = √(g/δst)
Критичне демпфування
cc = 2√(km) = 2mωn
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc
Частота загасаючих коливань
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно
k = k1 + k2
Пружини послідовно
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня
d1​ = 150 mmd2​ = 250 mm2880 rpmT1​ = 1200 NT2​ = 300 NP = ?

Пас іде на ведучому шківі 150 мм при 2880 об/хв. Натяг становить 1200 Н на ведучій гілці та 300 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d1 = 150 mmn1 = 2880 rpmT1 = 1200 NT2 = 300 N
P = kW
2.Зубчасті колеса й передачіСкладна
d1​ = 150 mmd2​ = 200 mm1440 rpmC = 1200 mmθ = ?

Відкритий пас з’єднує шків 150 мм і шків 200 мм, центри яких розташовані на відстані 1200 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d1 = 150 mmd2 = 200 mmC = 1200 mm
θ = °
3.Кручення валівСередня
d1​ = 50 mmd2​ = 25 mmT = 250 N·mABC2,5 m0,8 m

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 50 mm і довжину 2,5 m; ділянка BC має діаметр 25 mm і довжину 0,8 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 250 N·m. Знайдіть кут закручування φC кінця C у градусах.

T = 250 N·md1 = 50 mm, L1 = 2,5 md2 = 25 mm, L2 = 0,8 mG = 26 GPa
φC = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 10 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 10σy​ = 100τxy​ = 40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τmax.

σx = 10 MPaσy = 100 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = −40σy​ = −20τxy​ = −30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τθ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σx = −40 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 20 mmСталь3 mP = 60 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 60 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 40 mmСталь2 mØ 20 mmЛатунь1 mP = 85 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 85 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Стійкість колонСередня
PL = 3 m50 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 3 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Механічні коливанняСередня
k = 20 kN/mζ = 0,5m = 25 kg

Маса 25 kg на пружині жорсткістю 20 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.

m = 25 kgk = 20 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Механічні коливанняСкладна
k1​ = 25k2​ = 25m = 100 kg

Маса 100 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 25 kN/m і k₂ = 25 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk1 = 25 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 20,36 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 22,62 m/s

Потужність

P = (1200 − 300)·22,62 = 20358 W = 20,36 kW

Відповідь

P = 20,36 kW
2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 177,6 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,02083) = 1,194°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·1,194 = 177,6°

Відповідь

θ = 177,6°
3.Кручення валів

Відповідь: φC = 13,74 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 250000·2500/(26000·613592) = 0,03918 rad
φBC = 250000·800/(26000·38350) = 0,2006 rad

Повний кут закручування

φC = 0,03918 + 0,2006 = 0,2398 rad = 13,74°

Відповідь

φC = 13,74°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 23,49 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Відповідь

d = 23,49 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 60,21 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Радіус кола Мора

τmax = R = √(((10 − 100)/2)² + 40²) = 60,21 MPa

Відповідь

τmax = 60,21 MPa
6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τθ = 23,66 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

τθ = −−10·0,866 + −30·−0,5 = 23,66 MPa

Відповідь

τθ = 23,66 MPa
7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,865 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 60·1000/314,2 = 191 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 191/200000 = 0,0009549 = 954,9 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0009549·3000 mm = 2,865 mm

Відповідь

δ = 2,865 mm
8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 270,6 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 67,64 MPa
σ2 = 270,6 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 270,6 MPa

Відповідь

σmax = 270,6 MPa
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 63,97 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63,97 kN

Відповідь

Pcr = 63,97 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 30,71 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Відповідь

σcr = 30,71 MPa
11.Механічні коливання

Відповідь: fd = 3,898 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ωn = √(20000/25) = 28,28 rad/s
fn = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Частота загасаючих коливань

fd = fn·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,5²) = 3,898 Hz

Відповідь

fd = 3,898 Hz
12.Механічні коливання

Відповідь: fn = 3,559 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k1 + k2.

keq = 25 + 25 = 50 kN/m

Власна частота

ωn = √(50000/100) = 22,36 rad/s
fn = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Відповідь

fn = 3,559 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design